Page 3 - Modul Ring Dan Lapangan

A. Ring

Definisi A-1

Misalkan ≠ ∅ yang dilengkapi dengan dua buah operasi yaitu ∙ dan operasi *

Suatu operasi dalam struktur alabar dikatakan ring apabila memenuhi :

1. . ( , °)
1
2. . ( ,∗)
2
3. ℎ
3
∀ , , ∈ , ∗ ( ° ) = ( ∗ )°( ∗ ) °( ∗ ) = ( ° ) ∗ ( ° )

Contoh 1.1

Z adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut operasi +
adalah operasi penjumlahan biasa, dan × adalah operasi perkalian biasa. (Z, +,×) merupakan Ring.

Bukti:

 (Z, +) membentuk struktur Grup Abelian
 Bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan
∀ , ∈ , + ∈ …. (sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)
 Bersifat assosiatif
∀ , ∈ , ( + ) + = + ( + ) …. ( assosiatif penjumlahan bilangan bulat)
 Mempunyai elemen identitas
∃ ∈ , ℎ ∀ ∈ , ° = ° = , .

 Setiap elemen mempunyai invers
−1
−1
∀ ∈ , ∃ −1 ∈ , ℎ ° −1 = ° ,
ℎ
 Bersifat komutatif
∀ , ∈ , + = + (sifat komutatif penjumlahan bilangan bulat)

 (Z ,×) membentuk struktur Semigrup
 Bersifat tertutup terhadap operasi perkalian
∀ , ∈ , × ∈ … . (sifat ketertutupan perkalian bilangan bulat)
 Bersifat assosiatif
∀ , , ∈ , ( × ) × = × ( × ) …. (assosiatif perkalian bilangan bulat)
 Bersifat distributif kiri dan distributif kanan
∀ , , ∈ , × ( + ) = ( × ) + ( × ) ( + ) × = ( × ) + ( × )

1