Page 8 - Modul Ring Dan Lapangan
P. 8
2. ℚ, ℝ, dan ℂ merupakan ring dengan karakteristik nol
Teorema C-2
+
R adalah ring dengan elemen satuan 1, R mempunyai karakteristik ℤ jika dan
hanya jika . 1 = 0 dan terkecil
Bukti:
(⇒) R mempunyai karakteristik . Menurut definisi C-2 maka
= 0, ∀ ∈ dan terkecil, karena 1 ∈ maka 1 = 0
(⇐) Ambil sebarang ∈ maka . 1 = 1. =
=
= 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1
= (1 + 1 + 1 + ⋯ + 1)
= ( . 1)
= 0
= 0 ( )
Definisi C-3
Suatu ring dengan unsur kesatuan yang tanpa pembagi nol sejati disebut Ring Tanpa
Pembagi Nol (RTPN). RTPN yang komutatif disebut daerah integral.
Jadi dalam RTPN berlaku sifat: jika ≠ 0 dan ≠ 0 maka ≠ 0, pernyataan ini setara
dengan jika = 0 maka sedikitnya satu akan sama dengan nol.
Contoh 14:
1. Himpunan ℤ adalah himpunan bilangan bulat didefinisikan operasi penjumlahan dan
perkalian biasa. Dapat ditunjukkan bahwa 〈 , +〉 merupakan ring komutatif dengan unsur
nolnya adalah bilangan 0 (nol). Ambil sebarang , ≠ 0 ∈ ℤ, diperoleh ∙ ≠ 0,
dengan demikian 〈 , +,∙〉 merupakan daerah integral.
0
2. Himpunan = {[ ] | ∈ ℝ} dengan operasi penambahan dan perkalian matriks
0 0
0 0
merupakan ring komutatif dengan unsur nol adalah [ ].
0 0
6
