Page 10 - Modul Ring Dan Lapangan

+ +
Ambil sebarang = [ ] ∈ (ℂ), terdapat −1 =
− + − 2
1 [ − + ] ∈ (ℂ) sedemikian sehingga −1 = = .
−1
2
+ + + − + 2
2
2
2
Terbukti (ℂ) merupakan suatu ring pembagian.
2
Definisi D-2
Suatu ring pembagian yang komutatif disebut lapangan atau field.

Contoh 16:

Perhatikan Himpunan ℤ 3 = {0,1,2} dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 3.
Dapat ditunjukkan bahwa 1 dan 2 merupakan unit. Karena dalam perkalian berlaku sifat
komutatif maka ℤ 3 merupakan suatu lapangan.

Untuk menentukan pernyatakan tersebut benar kita perlu memeriksa apakah Z3 dengan
operasi penjumlahan dan perkalian adalah ring. Maka akan dibuktikan bahwa

〈ℤ , +〉 adalah grup komutatif
3
Menggunakan table Cayley

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Dari table di atas dapat ditunjukkan bahwa empat aksioma grup terpenuhi

1. Z3 memiliki operasi penjumlahan yang tertutup. ∀ , ℤ ∋ + ℤ
3
3
2. ∀ , , ℤ , ∋ + ( + ) = ( + ) +
3
3. ∃ = 0 ℤ , ∀ ℤ ∋ + 0 = 0 + =
3
3
−1
4. ∀ ℤ , ∃ ℤ ∋ + −1 = −1 + = 0
3
3
Dan memenuhi sifat komutatif
5. ∀ , ℤ ∋ + = +
3
Selanjutnya perhatikan table Cayley berikut untuk 〈 ,∙〉
3
∙ 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

8