Page 6 - Modul Ring Dan Lapangan

Contoh 1.3 :

1. Himpunan = {0,1,2,3,4,5} dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan
modulo 6. Dapat ditunjukkan bahwa R merupakan ring komutatif. Ambil 2 ∈ dan 3 ∈
.

Kita operasikan dengan operasi kedua, yaitu perkalian modulo 6, diperoleh :

2 ∙ 3 = 0, akibatnya 2 dan 3 merupakan elemen pembagi nol.

2. Himpunan (ℤ ) adalah himpunan matriks berordo 2 × 2 dengan entri-entri bilangan
2
2
bulat modulo 2. (ℤ ) dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah suatu
2
2
ring.
1 1 1 1
Elemen = [ ] merupakan pembagi nol kiri karena terdapat = [ ] sehingga
0 0 1 1
1 0
= 0, tetapi tidak ada ≠ 0 ∈ (ℤ ) sehingga = 0. Elemen = [ ]
2
2
1 0
1 1
merupakan pembagi nol kanan karena terdapat = [ ] sehingga = 0 tetapi tidak
1 1
1 0
ada ≠ 0 ∈ (ℤ ) sehingga = 0. Elemen = [ ] merupakan pembagi nol
2
2
0 0
0 0 0 1
sejati karena terdapat = [ ] dan = [ ] sehingga = 0 dan = 0.
0 1 0 1
2
3. Persamaan kuadrat − 5 + 6 = 0, dengan ∈ ℝ adalah suatu ring dengan akar-akar
adalah = 2 dan = 3. Akan tetapi akar-akar dari persamaan kuadrat − 5 + 6 = 0
2
untuk di ℤ tidak hanya 2 dan 3 tetapi memenuhi ( − 2)( − 3) = 0. Perhatikan
12
bahwa untuk pasangan ( , ) dengan , ∈ ℤ sedemikian hingga = 0 dipenuhi
12
oleh (0,0); (2,6); (6,2); (3,4); (4,3); (6,4); (4,6); (6,6); (8,3); (3,8); (8,6); (6,8); (9,4); (4,9);
(9,8); (8,9); (10,6); (6,10).
Kita Selidiki satu persatu pasangan bilangan tersebut

Untuk (0,0) maka − 2 = 0 dan − 3 = 0 diperoleh = 2 dan x = 3. Karena
(2 − 2)(2 − 3) = 0, dan (3 − 2)(3 − 3) = 0

Maka 2 dan 3 merupakan pembagi nol dalam ℤ
12
Untuk (2,6) maka − 2 = 2 dan − 3 = 6 diperoleh = 4 dan = 9. Karena
(4 − 2)(4 − 3) ≠ 0 dan (9 − 2)(9 − 3) ≠ 0

Maka 9 dan 4 bukan merupakan pembagi nol dalam ℤ
12
Untuk (3,4) maka − 2 = 3 dan − 3 = 4 diperoleh = 5 dan = 7. Karena
(5 − 2)(5 − 3) ≠ 0 dan (7 − 2)(7 − 3) ≠ 0

Maka 5 dan 7 bukan merupakan pembagi nol dalam ℤ
12

4