Page 11 - Modul Ring Dan Lapangan
P. 11
Dari table diperoleh bahwa:
1. Sifat tertutup dipenuhi ∀ , ℤ ∋ . ℤ
3
3
2. Sifat asosiatif dipenhi ∀ , , ℤ ∋ ( . ). = . ( . )
3
3. Sifat distribusi kiri dan kanan dipenuhi ∀ , , ℤ ∋
3
. ( + ) = . + . ( + ). = . + .
Maka terbukti bahwa ℤ adalah ring
3
Selanjutnya akan ditunjukkan bawa ring tersebut memiliki sifat ring pembagian yang
komutatif maka harus memenuhi
1. Banyak unsurnya lebih dari satu
2. Memiliki unsur kesatuan 1, ∀ , ℤ ∋ . = . , ∀ ℤ = 1
3
3
3. ∀ ≠ 0 ∈ ℤ ∃ −1 sedemikian sehingga −1 = −1 =1
3
4. Memenuhi sifat komutatif ∀ , ∈ ℤ ∋ . = .
3
Jadi karena telah terbukti bahwa 〈ℤ , +,∙〉 merupakan ring pembagian yang komutatif
3
maka ia adalah lapangan.
Lemma D-1:
Andaikan ℝ adalah ring dengan unsur kesatuan 1. Jika ∈ ℝ adalah suatu unit
maka a bukan suatu pembagi nol.
Bukti:
Ambil sebarang ℝ dengan a unit dari ℝ
Maka berlaku ∀ ≠ 0 ∈ ℤ ∃ −1 ∋ −1 = −1 =1
3
Jika terdapat beberapa ∈ ℝ, sehingga . = 0 karena a dianggap pembagi nol
Maka
= 1.
−1
−1
= ( ). = ( . )
= 1. = −1 . 0
= = 0
Ditemukan kontradiksi sehingga anggapan bahwa a pembagi nol dibatalkan. Sehingga
terbukti bahwa a bukan pembagi nol.
Akibat D-2 :
Setiap ring pembagian adalah RTPN
9
