Page 12 - Modul Ring Dan Lapangan
P. 12
Bukti:
Bukti akan dijelaskan secara narasi, karena ring pembagian memiliki sifat harus memiliki
unsur kesatuan 1 dan memiliki sifat unit, serta dari lemma D-1 diketahui bahwa ring dengan
unsur kesatuan 1 adalah RTPN. Maka terbuktilah bahwa setiap ring pembagian adalah
RTPN.
Teorema D-3
Suatu ring adalah ring pembagian jika dan hanya jika 〈 − {0},∙〉 merupakan grup.
Bukti :
Ada dua pernyataan yang akan dibuktikan yaitu:
1) Jika 〈 , +,∙〉 merupakan ring pembagian maka 〈 − {0},∙〉 grup.
2) Jika R merupakan ring dan 〈 − {0},∙〉 adalah grup maka 〈 , +,∙〉 merupakan ring
pembagian.
Bukti 1
Andaikan 〈 , +,∙〉 merupakan ring pembagian.
Akan ditunjukkan bahwa 〈 − {0},∙〉 merupakan grup.
Dari Akibat D-2 diperoleh R adalah RTPN, akibatnya berlaku sifat
∀ ≠ 0, ≠ 0 ∈ maka ≠ 0 (aksioma pertama dipenuhi).
1 ∈ − {0} karena unsurnya lebih dari satu.
−1
∀ ∈ ∃ −1 ∈ ∋ . −1 = . = 1 (R merupakan ring pembagian, hal ini juga
berlaku untuk setiap unsur di 〈 − {0},∙〉 artinya:
−1
∀ ∈ − {0} ∃ −1 ∈ ∋ . −1 = . = 1,
Untuk memenuhi itu maka haruslah −1 ≠ 0 dengan kata lain −1 ∈ − {0} (aksioma
empat terpenuhi)
Bukti 2
Andaikan R ring dan 〈 − {0},∙〉 merupakan grup
Akan ditunjukkan R adalah ring pembagian artinya pada R harus terpenuhi
1) Banyaknya unsur lebih dari satu.
2) Memiliki unsur kesatuan.
3) Setiap unsur yang tidak nol memiliki invers.
10
