Page 7 - Modul Ring Dan Lapangan

Untuk (4,3) maka − 2 = 4 dan − 3 = 3 diperoleh = 6 dan = 6. Karena
(6 − 2)(6 − 3) = 0

Maka 6 merupakan pembagi nol dalam ℤ
12
Untuk (9,8) maka − 2 = 9 dan − 3 = 8 diperoleh = 11 dan = 11. Karena
(11 − 2)(11 − 3) = 0

Maka 11 merupakan pembagi nol dalam ℤ
12

Teorema C-1

m merupakan pembagi no dari ℤ jika dan hanya jika m dan n bukan relatif prima

Bukti:

(⇒) Ambil sebarang ∈ ℤ yang merupakan suatu pembagi nol dari ℤ . Menurut definisi

pembagi nol maka ≠ 0 dan ∃ ≠ 0 ∈ ℤ ∋ = 0 modulo .

Andaikan m dan n relatif prima. Karena = 0 maka = , dengan ∈ ℤ sehingga
/ = , akibatnya = , dengan ∈ ℤ. Karena = maka = 0 dalam ℤ .

Kontradiksi dengan ≠ 0 dan = 0. Kesimpulan pengandaian salah, artinya m dan n bukan
relatif prima.

(⇐) Andaikan m dan n bukan relatif prima, maka faktor persekutuan terbesar (gcd) dari m

dan n adalah ≠ 1. Jadi , , ∈ ℤ sehingga = =∈ ℤ . Jadi ∃ ≠ 0 ∈ ℤ ∋ =

0

Kesimpulan m pembagian nol dari ℤ .

Definisi C-2:

∈ ℤ , > 0 dinamakan karakteristik untuk ring R jika dan hanya jika
+
=
= 0, ∀ ∈ dan terkecil.

(dikatakan ring R mempunyai karakteristik )

Jika tidak terdapat sedemikian hingga = 0, ∀ ∈ maka R dikatakan mempunyai
karakteristik nol.

Contoh 13:

1. Perhatikan tabel Caylel < ℤ , +> pada Contoh 6. Dapat diperhatikan bahwa karakteristik
6
dari ℤ adalah 6, karena untuk setiap ∈ ℤ , berlaku 6a = a + a + a + a + a + a = 0.
6
6
Secara umum, ℤ merupakan ring dengan karakteristik .

5