Page 9 - Modul Ring Dan Lapangan
P. 9
0 0 0
Ambil sebarang = [ ] , = [ ] ∈ , diperoleh = [ ]. Akibatnya,
0 0 0 0 0 0
〈 , +,∙〉 merupakan daerah integral.
Selanjutnya akan diberikan beberapa tetorema yang berkaitan dengan RTPN.
Teorema C-4
Suatu Ring adalah RTPN jika dan hanya jika memenuhi hukum kansalasi.
Bukti:
Ada dua yang akan dibuktikan yaitu:
1. Suatu ring adalah RTPN, jika memenuhi hukum kansalasi.
2. Jika suatu ring memenuhi hukum kansalasi maka ring tersebut RTPN.
Demikian pula bila = 0 dengan ≠ 0 maka harus ditunjukkan = 0. Perhatikan =
0, diperoleh = 0 = 0 . Karena berlaku hukum kansalasi maka diperoleh = 0.
Dengan demikian telah terbukti sifat RTPN yaitu jika = 0 maka paling sedikit satu akan
sama dengan nol.
a. Ring Pembagian (Division Ring) Dan Lapangan (Field)
Definisi D-1
Suatu ring dinamakan ring pembagian atau division ring jika:
1) Banyak unsurnya lebih dari satu
2) Memiliki unsur kesatuan (dilambangkan dengan 1)
∀ ≠ 0 ∈ ∃ −1 ∈ sedemikian sehingga −1 = −1 = 1
Perhatikan Kembali Definisi A-4 tentang unit. Ring pembagian juga dapat juga dikatakan
sebagai ring dengan unsur kesatuan yang setiap elemen tak nolnya adalah unit.
Contoh 15:
+ +
Himpunan (ℂ) = {[ ] | , , , ∈ ℝ, = √−1} dapat ditunjukkan
2
− + −
bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian dua matriks merupakan ring. Selanjutnya,
1 0
dapat ditunjukkan = [ ] merupakan unsur kesatuan.
0 1
7
