Page 13 - Modul Ring Dan Lapangan

Diketahui 〈 − {0},∙〉 merupakan grup. Akibatnya telah dipenuhi bahwa pada R unsur yang
R tidak nol memiliki invers (syarat 3 dipenuhi) dan memiliki unsur kesatuan yang tidak sama
dengan nol. Karena terdapat unsur kesatuan yang tidak sama dengan nol itu berarti bahwa
memiliki unsur yang lebih dari satu.

Contoh 17:

1) = {0,1,2,3,4,5,6} dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
modulo 7 merupakan ring pembagian. Dapat ditunjukkan bahwa 〈 , +,∙〉 merupakan
ring dengan 0 merupakan unsur nol. Selanjutnya perhatikan table Cyley untuk
operasi perkalian pada − {0} berikut :
∙ 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

Dari table didapat:
Banyaknya unsur lebih dari satu. Unsur kesatuannya adalah satu (1) karena ∀ ≠
0 ∈ ∃ −1 ∈ ∋ . −1 = −1 . = 1
Misal : invers dari 2 adalah 4, invers dari 3 adalah 5 dan invers dari 6 adalah 1. Sifat
komutatif ∀ , ∈ ℤ ∋ . = .
3
Misal : sifat komutatif 2.4 = 4.2 = 1, juga berlaku untuk elemen lainnya.
2) Himpunan ℝ adalah himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan dan
operasi perkalian. Dapat ditunjukkan bahwa 〈ℝ, +,∙〉 merupakan ring pembagi.
Kita hanya perlu menunjukkan bahwa 〈ℝ − {0},∙〉 adalah grup maka harus
memenuhi:
a) Banyaknya unsur lebih dari satu.
b) Unsur kesatuannya dalah satu (1) karena ∀ ≠ 0 ∈ ∃ −1 ∈ ∋
. −1 = −1 . = 1
c) Memenuhi sifat komutatif, yakni ∀ , ∈ ℤ ∋ . = . , karena sesuai
3
dengan sifat sebelumnya bahwa . −1 = −1 . = 1. Dari bentuk tersebut
dapat diketahui bahwa y maupun −1 tidak sama dengan nol.

11