Page 16 - Algebra 03S

Multiplicación algebraica

trinomio al cubo

(a + b + c) = a + b + c + 3(a + b)(b + c)(a + c)
3
3
3
3
Ten presente
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3
3
= a + b + c + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
3
2
2
3
2
3
= a + b + c + 3a (b + c) + 3b (a + c) + 3c (a + b) + 6abc
Identidad
Una identidad algebraica es
Problema 3 una igualdad de expresiones
3
3
3
Si a + b + c = 5 y (a + b + c)(ab + bc + ac) = abc, calcule a + b + c . algebraicas, que siempre es
verdadera cualquiera sean
Resolución:
los valores que asuman las
3
3
3
3
Se sabe que: (a + b + c) = a + b + c + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
 variables.
3
3
3
3
Reemplazando: 5 = a + b + c + 3abc – 3abc Ejemplo:
3
3
3
2
 a + b + c = 125 Rpta.: 125 a(a + b) = a + ab
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
igualdades condicionales Identidad de Lagrange
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2
2
2
2
2
2
a + b + c = –2(ab + bc + ac) (a + b )(x + y )
2
3
3
3
a + b + c = 3abc = (ax + by) + (ay – bx) 2
Si a + b + c = 0  
2
2
2
(ab + bc + ac) = (ab) + (bc) + (ac) 2
2 2
2
4
4
4
2
(a + b + c ) = 2(a + b + c )
Problema 4
2
2 2
2 2
Demuestre que, si a + b + c = 0  (ab + bc + ac) = a b + b c + a c .
2 2
Demostración:
Recordemos que: (x + y + z) = x + y + z + 2(xy + xz + yz)
2
2
2
2
2
2
2
2
Entonces: (ab + bc + ac) = (ab) + (bc) + (ac) + 2(abbc + abac + bcac)
2 2
2 2
2
2 2
(ab + bc + ac) = a b + b c + a c + 2(abcd + abca + abcc) Ten presente
2 2
(ab + bc + ac) = a b + b c + a c + 2abc(a + b + c)
2 2
2 2
2

2 2
2 2
2 2
2
 (ab + bc + ac) = a b + b c + a c 0 Identidad de Gauss
L.q.q.d.
3

3
3
a + b + c – 3abc = (a + b + c)
2
2
2
(a + b + c – ab – ac – bc)
Problema 5 a + b + c – 3abc = 1 (a + b + c)

3
3
3
(
(
2
+
ab c) + b ac) + ca b) 2 2
+
(
+
2
Si a + b + c = 0, calcule: . 2 2 2
3
a + b + c 3 [(a – b) + (b – c) + (a – c) ]
3
Resolución: a + b = –c  (a + b) = (–c)  (a + b) = c 2
2
2
2
 b + c = –a  (b + c) = (–a)  (b + c) = a 2
2
2
2
Si a + b + c = 0  a + c = –b  (a + c) = (–b)  (a + c) = b 2
2
2
2
2
2
aa + bb + cc 2 a + b + c 3
3
3
Reemplazando en la expresión: = = 1
a + b + c 3 a + b + c 3
3
3
3
3
Rpta.: 1
18 Álgebra 3 - Secundaria