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Capítulo 4

Factorización I

FACTORIZACIÓN EN 

¿Cuáles son las multipli-
caciones cuyos desarro- x + 2xy + y 2
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llos se muestran? ¿Cuántos factores
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x – y 2 tiene x – 1? VIDEO DE TEORÍA
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x – y 3

Ten presente
La factorización es contraria a la multiplicación. Consiste en transformar las
expresiones en forma de producto de factores.
Factorización en 
Métodos de factorización Un polinomio está definido

1. Método del factor común: 2. Por agrupación: por el campo numérico al que
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
pertenecen sus coeficientes.
Consiste en extraer, de cada tér- Cuando no es evidente el factor Si sus coeficientes son enteros
mino, el factor que se repite con común, se agrupa tratando de entonces está en .
su menor exponente. Ejemplo: formar un factor común polino-
mio. En el ejemplo anterior: Cuando se factoriza se trans-
Factorice P(x) = 2x – 6x + 4x 3 forma el polinomio, por lo
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P(x) = 2x (x – x – 2x + 2)
Factor común con tanto no siempre se mantie-
menor exponente P(x) = 2x x(x – 1) – 2(x – 1) ne el mismo campo.
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P(x) = 2x (x – 3x + 2)
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P(x) = 2x (x – 1)(x – 2) Así: x – 4 = (x + 2)(x – 2) es
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factorizado en .
Problema 1 Problema 2 2
Indique el número de factores de Indique el factor lineal de: Pero x – 3 = (x + 3)(x – 3)
3 3
2 2
P(x, y) = 12x y – 4x y + 16xy P(x) = x + x + 3x + 3 no es factorizable en  pero
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sí lo es en .
Resolución: Resolución:
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P(x, y) = 4xy3x y – 4xyxy + 4xy4 P(x) = (x + x ) + (3x + 3) Polinomio irreductible
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P(x, y) = 4xy(3x y – xy + 4) P(x) = x (x + 1) + 3(x + 1) Es cuando no se puede ex-
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presar como el producto de
# factores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) –1 = 7 P(x) = (x + 1)(x + 3) dos o más factores en el cam-
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Rpta.: 7 Rpta.: x + 1 po en el que está definido.
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x – 3 es irreductible en  y
, pero no lo es en .
3. Por identidades:
Utiliza los productos notables en sentido inverso: Factor primo
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• a + 2ab + b = (a + b) • a + b = (a + b)(a – ab + b ) El factor primo de un polino-
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• a – 2ab + b = (a – b) • a – b = (a – b)(a + ab + b ) mio es un factor irreductible.
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• a – b = (a + b)(a – b) • a + b + c +(ab + bc + ac) = (a + b + c) 2 Cantidad de factores
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a
b
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Problema 3 P(x) = (x – 2x + 1)(x – 1) Dado P(x) = A(x) B(x) C(x) c
¿Cuántos factores tiene P(x) = (x – 1) (x + 1)(x – 1) con A(x), B(x) y C(x) primos,
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P(x) = x – 2x + x – x + 2x –1? entonces:
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P(x) = (x – 1) (x + 1)(x – x + 1)(x – 1)(x + x + 1)
Resolución: • Tiene 3 factores primos
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P(x) = (x – 2x + x ) – (x – 2x + 1) P(x) = (x – 1) (x + 1)(x – x + 1)(x + x + 1) • El número de factores es:
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P(x) = x (x – 2x + 1) – (x – 2x + 1) # factores = 4222 – 1= 31 #factores = (a + 1)(b + 1)(c + 1) – 1
Rpta.: 31

16 Álgebra 5 - Secundaria