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División algebraica

Resolución: 1 2
aa = b  b = 1 Personaje
3
2ba = b  a = 2 3 9
7 11 Divisibilidad algebraica
(a + c + b)a = c  c = 3 
resto
Reemplazando los valores en el esquema: 7x + 11 Rpta.: 7x +11 Un polinomio D(x) es divi-
sible entre otro d(x), ambos
de grado no nulos, si el resto
TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES de dividir D(x) entre d(x) es
idénticamente nulo. Enton-
ces d(x) es divisor o factor
Supóngase que queremos hallar el resto de P(x) x – a de D(x).
dividir P(x) entre x – a. Entonces dividimos: R q(x)

Si sustituimos x = a en (1):  P(x) = (x – a)q(x) + R (1)
Tenemos: P(a) = (a – a)q(a) + R

0
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
El resto de dividir P(x) entre x – a es P(a) P(a) = R

Problema 3 Nota
2
3
El polinomio x + 3x + Ax + B es divisible por (x + 4) y (x – 2), entonces el

valor de A – B es: Las divisiones de la forma
Resolución x ± y n
m
Si es divisible  resto = 0 y ± y b
a
3
2
Resto entre x + 4 es P(–4) : (–4) + 3(–4) – 4A + B = 0  –16 – 4A = –B
2
3
Resto entre x – 2 es P(2) : 2 + 3(2) + 2A + B = 0  20 + 2A = –B generan cocientes notables
exactas si, y sólo si:
 –16 – 4A = 20 + 2A  A = –6  B = –8
m n
,
 A – B = –6 – (–8) = 2 Rpta.: 2 = = kk ∈
a b
k = número de términos del
COCIENTES NOTABLES C.N.
x ± y n
n
El cociente de las divisiones de la forma se puede obtener sin efec-
±
xy
tuar el proceso de la división, razón por la cual son notables. No todas las
divisiones de esta forma son exactas. Veámoslas:
Son exactas Es inexacto
n
n
x − y n x + y n x − y n x + y n
n
n
−
+
+
−
xy xy xy xy Observación
 n   n  0 Si n impar Si n par R = 2y n
Para hallar el término de lu-
téRMino geneRal del desaRRollo de un cociente notable gar k de un cociente notable,
contando desde el último
3
x ± y n = x n−1 ± x n−2 yx n−3 y ±... ± y n−1 • x − y 3 = x + xyy 2 término, es suficiente inter-
n
+
2
+
2
−
−
xy xy cambiar los exponentes.
4
x − y 4 t = x k–1 n–k
y
Divisor de la forma x – y Divisor de la forma x + y • = x − x yxy+ 2 − y 3 k
2
3
+
xy
x
y
t = x n–k k–1 t = (–1) k+1 n–k k–1
y
k k x + y 3
3
+
• = x − xyy 2
2
+
n, k  , n  k xy
14 Álgebra 5 - Secundaria