Page 18 - XII_Matematika Peminatan_KD 3.3_Turunan Fungsi Trigonometri (www.bospedia.com).docx_Neat

Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.3

Kunci Jawaban dan Pembahasan

1. Buktikan rumus dasar turunan fungsi trigonometri berikut dengan definisi.
a. f(x) = cos x  ( ) = –sin x (Skor Maksimum 20)
′
Penyelesaian:

( + ℎ) − ( )
′
( ) = lim (definisi turunan)
ℎ→0 ℎ
cos( + ℎ) − cos
= lim (substitusikan f(x) = cos x)
ℎ→0 ℎ
cos cos ℎ − sin sin ℎ − cos (cos(x+h)=cos x cos h – sin x sin
= lim
ℎ→0 ℎ h)
cos (cos ℎ − 1) − sin sin ℎ
= lim (sifat distributif)
ℎ→0 ℎ
cos (cos ℎ − 1) sin sin ℎ
= lim − lim (sifat limit)
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
cos ℎ − 1 sin ℎ
= cos lim − sin lim (sifat limit)
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
= cos (0) − sin (1) (rumus limit)
= −sin
Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = cos x adalah ( ) = –sin x.
′
b. f(x) = csc x  ( ) = –csc x cot x (Skor Maksimum 20)
′
Penyelesaian:
( + ℎ) − ( )
′
( ) = lim (definisi turunan)
csc( + ℎ) − csc
(substitusikan f(x) = sec x)
ℎ→0 ℎ
1 1 1 (csc = )
1

ℎ→0 ℎ sin( + ℎ) sin sin
1 sin − sin( + ℎ)
(samakan penyebut)
ℎ→0 ℎ sin( + ℎ) sin
1 sin − [sin cos ℎ + cos sin ℎ]
(sin (x + y) = sin x cos y – cos x sin y)
ℎ→0 ℎ sin( + ℎ) sin
1 sin − sin cos ℎ − cos sin ℎ
(penyederhanaan)
ℎ→0 ℎ sin( + ℎ) sin
1 sin (1 − cos ℎ) − cos sin ℎ
(sifat distributif)
ℎ→0 ℎ sin( + ℎ) sin
cos (1 − cos ℎ) cos sin ℎ
(penyederhanaan)
ℎ→0 ℎ sin( + ℎ) sin ℎsin( + ℎ) sin
cos (1 − cos ℎ) cos sin ℎ
(sifat limit)
sin ℎ→0 ℎ sin( + ℎ) sin ℎ→0 ℎsin( + ℎ)
0 1
(sifat limit)
cos sin
= −csc cot
Jadi, turunan pertama fungsi trigonometri f(x) = csc x adalah ( ) = – csc x cot x.
′

c. f(x) = cot x  ( ) = –csc x (Skor Maksimum 20)
2
′
( + ℎ) − ( )
′
( ) = lim (definisi turunan)
ℎ→0 ℎ

@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 18