Page 53 - Modul problem posing berorientasi stem

Bukti.

Langkah awal analisa adalah mencari  jika diberikan  sehingga berlaku;

0 < | − 1| < → |( + 3) − 4| < , bagaimana membuktikan pernyataan

ini. Dari pertaksamaan kedua dapat disederhanakan sebagai berikut;

|( + 3) − 4| = | − 1| = |( − 1)( + 1)| = | − 1|| + 1|. Perhatikan bahwa

faktor | − 1| dapat dibuat kecil sebagaimana yang kita kehendaki tetapi
faktor | + 1| harus dibatasi dengan memilih nilai   1 sehingga;
| + 1| = | − 1 + 2| ≤ | − 1| + |2|. Oleh karena | − 1| < < 1 maka diperoleh

| + 1| ≤ | − 1| + |2| < 1 + 2 = 3, jadi | + 1| < 3.

Selanjutnya bukti formal adalah andaikan diberikan >0, pilih

=min{1,/3} maka 0 < | − 1| < → |( + 3) − 4| = | − 1| = |( − 1)( +

1)| = | − 1|| + 1| < . 3 = . 3 = .

Jadi 0 < | − 1| < → |( + 3) − 4| < (terbukti)

Contoh 3.2. Buktikan =
→
Bukti
Gunakan langkah pada contoh 3.1 untuk membuktikannya. Andaikan

diberikan >0, pilih = sehingga 0 < | − | < → | − | < .

Untuk menggeneralisasi perhitungan limit fungsi yang berbentuk polinom
atau rasional maka dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema 1. =

→
Bukti. Langkah yang sama seperti contoh 3.2. Andaikan diberikan >0,
pilih = 1, (1 + 2| | maka untuk 0 < | − | < akan diperoleh;

| − | = | + || − | = | − 2 + 2 || − | ≤ | − |(| − | + 2 ) < (1 + 2| |)

< . (1 + 2| |) =
(1 + 2| |)
Teorema 1 melandasi munculnya teorema substitusi berikut.

Teorema 2 (Substitusi).

Jika f suatu fungsi polinom atau rasional maka lim ( ) = ( ), asalkan
→
dalam kasus fungsi rasional , nilai penyebut di c tidak nol
Bukti.

Diberikan > 0 maka akan ditemukan > 0, sehingga berlaku;

44