Page 83 - Modul problem posing berorientasi stem

Amati nilai gradient garis singgung fungsi ( ) dan inversnya ( )
disepanjang daerah definisi fungsi masing-masing saling bertolak

belakang.
Dari gambar 5.1 terlihat jika gradient garis singgung ( ) adalah dan

gradient garis singgung yang seirama pada ( ) adalah maka dapat

disimpulkan = . Karena gradien garis singgung adalah interpretasi

turunan maka ( )′( ) = .
′( )
Teorema

Misalkan f fungsi satu-satu yang terdiferensialkan pada interval I. Jika

′( ) ≠ 0 pada suatu nilai ∈ maka dapat didiferensialkan dititik y =

f( x ) pada Rf, sehingga ( )′( ) = atau = ( Leibnizt ).
′( )

sebaliknya ′( ) = dan dalam Leibnizt =
( )′( )

Bukti.

Gunakan sifat ( ( )) = . dan diferensialkan dengan aturan rantai,

sehingga diperoleh ( )′( ( )). ′( ) = 1 ⇒ ′( ) = ⇒ ′( ) =
( )′( ( )) ( )′( )
Contoh 5.1.
Tentukan turunan ( ) = √ dari turunan fungsi inversnya.

Jawab.

= √ mempunyai invers = , ≥ 0. Selanjutnya = 2 , berdasarkan

rumus Leibnizt diperoleh;

= = = .
√

Dengan menggunakan rumus ini maka dapat ditentukan turunan invers
trigonometri seperti berikut.

Fungsi = ( ) dapat diturunkan dua kali dengan notasi ′′( ) atau ′′ dan

dalam notasi Leibnizt = , bahkan hingga turunan ke – n

Turunan Invers Trigonometri

Dapat dibuktikan bahwa ( ) = ; −1 ≤ ≤ 1
√
Bukti: = maka = dan = = 1 −

74