Page 166 - chapter 1
P. 166
166
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
ΟΡΙΣΜΟΣ
Η συνάρτηση f: Α θα λέμε ότι είναι:
● φ ρ α γ μ έ ν η ά ν ω αν υπάρχει αριθμός Μ τέτοιος
ώστε για κάθε χ Α να ισχύει f(x) M .
O αριθμός Μ (και κάθε μεγαλύτερος του) λέγεται άνω
φ ρ άγμα της f.
● φ ρ α γ μ έ ν η κ ά τ ω αν υπάρχει αριθμός m τέτοιος
ώστε για κάθε χ Α να ισχύει f(x) m .
O αριθμός m (και κάθε μικρότερος του) λέγεται κάτω
φ ρ άγμα της f.
● φ ρ α γ μ έ ν η αν υπάρχουν αριθμοι Μ,m τέτοιοι ώστε
για κάθε χ Α να ισχύει m f(x) M .
ΠΡΟΤΑΣΗ
Η συνάρτηση f: Α είναι φραγμένη αν και μόνο αν
υπάρχει κ>0 τέτοιο ώστε για κάθε χ Α να ισχύει
|f(x)| κ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
● Αν για κάθε χ Α ισχύει |f(x)| κ ` -κ f(x) κ
που σημαίνει ότι η f είναι φραγμέν η
● Αν η f είναι φραγμένη, τότε για κάθε χ Α ισχύει
m f(x) M.
Για κ με |m| κ και |Μ| κ τότε -κ m κ και -κ Μ κ
Έτσι, για κάθε χ Α ισχύει
-κ m f(x) Μ κ` -κ f(x) κ` |f(x)| κ
ΠΡΟΤΑΣΗ - ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ
Αν μια συνάρτηση g έχει lim g(x)=0 (μηδενική συνάρτηση)
x
x
0
και μια συνάρτηση f είναι φραγμένη, τότε
x lim [f(x) g(x)]=0
x
0
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Η συνάρτηση f είναι φραγμένη, οπότε υπάρχει κ>0 τέτοιο
ώστε για κάθε χ χ 0 να ισχύει |f(x)| κ (1)
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017