Page 166 - chapter 1
P. 166

166
                             ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης




                      ΟΡΙΣΜΟΣ

                      Η συνάρτηση f: Α             θα λέμε ότι είναι:
                      ● φ ρ α γ μ έ ν η   ά ν ω  αν υπάρχει αριθμός Μ                 τέτοιος
                         ώστε για κάθε χ       Α να ισχύει f(x)        M .
                         O αριθμός Μ (και κάθε μεγαλύτερος του) λέγεται άνω

                         φ  ρ άγμα της f.
                      ● φ ρ α γ μ έ ν η   κ ά τ ω  αν υπάρχει αριθμός   m               τέτοιος
                         ώστε για κάθε  χ       Α να ισχύει f(x)        m .

                         O αριθμός m (και κάθε μικρότερος του) λέγεται κάτω
                         φ  ρ άγμα της f.
                      ● φ ρ α γ μ έ ν η   αν υπάρχουν αριθμοι Μ,m                  τέτοιοι ώστε
                         για κάθε χ    Α να ισχύει m        f(x)     M .



                      ΠΡΟΤΑΣΗ


                      Η συνάρτηση f: Α             είναι φραγμένη αν και μόνο αν
                      υπάρχει κ>0 τέτοιο ώστε για κάθε χ               Α να ισχύει

                      |f(x)|     κ



                   ΑΠΟΔΕΙΞΗ



                   ● Αν για κάθε χ       Α    ισχύει |f(x)|    κ `  -κ    f(x)    κ


                      που σημαίνει ότι η f είναι φραγμέν η

                   ● Αν η f είναι φραγμένη, τότε για κάθε χ               Α ισχύει


                      m    f(x)     M.


                      Για κ με |m|    κ και |Μ|    κ τότε -κ      m   κ και -κ     Μ   κ


                      Έτσι, για κάθε χ      Α ισχύει

                      -κ   m   f(x)    Μ   κ` -κ      f(x)    κ` |f(x)|        κ



                      ΠΡΟΤΑΣΗ - ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ

                      Αν μια συνάρτηση g έχει  lim g(x)=0 (μηδενική συνάρτηση)

                                                       x
                                                           x
                                                           0


                      και μια συνάρτηση f είναι φραγμένη, τότε
                          x    lim [f(x) g(x)]=0
                           x
                          0


                   ΑΠΟΔΕΙΞΗ

                   Η συνάρτηση f είναι φραγμένη, οπότε υπάρχει κ>0 τέτοιο


                   ώστε για κάθε χ         χ 0 να ισχύει |f(x)|       κ    (1)


                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   161   162   163   164   165   166   167   168   169   170   171