Page 271 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 271

14.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= ημx+ x
2
3
α) Να βρείτε την f'(x)

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
2+2 3 π 2
0, π : συνξ+ 2 = 4
2 3 3 ξ π
γ) Να υπολογίσετε το όριο lim f (x)ημ 1 -f (x)
3
2
x f(x)
f(x) 1
δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g(x)= x - 3 x , x (0, π)
ως προς τη μονοτονία.

0
ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= 1 f(x) dx

15.
Δίνεται η συνάρτηση f:[ 1, + ) για την οποία ισχύει:
(f(t)- t-1 )x 2017 +2x+1

x lim x+2016 2
α) Να αποδείξετε ότι f(x) x 1, x [1,+ )και να ορίσετε
την f
1
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από την C , την C 1 και τις ευθείες x 1 και x 2
f f
γ) Να βρείτε το σημείο M της C που απέχει ελάχιστη από-
f
σταση από το σημείο Α(2, 0)
δ) Ένας πεζοπόρος Π(α, α-1 ) κινείται κατά μήκος της C
f
κατά την διάρκεια της νύχτας φορώντας φακό κεφαλής
πλησιάζοντας μια σπηλιά Ο(1, 0) και ο προβολέας φωτί-

ζει κατευθείαν εμπρός.
Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του πεζοπό -
ρου δίνεται από τον τύπο α'(t)=-α(t) να βρείτε το ρυθμό

μεταβολής της τετμημένης του σημείου Γ στο οποίο
πέφτουν τα φώτα του φακού κατά την στιγμή στην
οποία ο πεζοπόρος έχει τετμημένη 5.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017