Page 268 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 268

7.
Για μια συνάρτηση f:[ 0 , ) [ 0 , ) ισχύει
f( f(x))= x για κάθε x 0
4
α) Να αποδείξετε ότι
1) Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη στο [0 , )

4
2) i) f f x x για κάθε x 0
4
4
ii) f(x )=f (x) για κάθε x 0
3)Το πεδίο ορισμού της f 1 είναι το [0 , )
4) Αν η f είναι συνεχής στο [1, 16] τότε

2 16 f(x)
4
( 2 f(x)) dx dx
1 1 4 x 3
β) Αν επιπλέον f(0)
1 τότε
1) Να βρείτε τις τιμές f(0), f(1)
2) i) Αν η f είναι συνεχής στο [0, 1] τότε λαμβάνει την
τιμή 1
2018
ii) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [0, 1] τότε υπάρχει
f
εφαπτομένη της C παράλληλη στην ευθεία y=x
iii) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (0 , ) τότε η f έχει
μοναδικό ακρότατο το οποίο και να βρείτε.

8.
3
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x +x-lnx, x [ 1, + )
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + )
β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f
γ) Να αποδείξετε ότι
f (x)-4f(x)+4
2
lim x-1 =3
x 1
δ) Αν α 2 να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f (x +x)=f (lnx+α)
3
2
2
έχει μοναδική ρίζα στο [ 1, + )
ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

3π f(ημx)+ln(ημχ)
4 dx
1 ημχ

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017