Page 269 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 269

9.
Για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0, + ) ισχύει

f(f'(x))=-lnx για κάθε x 0
Να αποδείξετε ότι
α) Οι συναρτήσεις f, f' είναι αντιστρέψιμες στο (0, + )
β) Το σύνολο τιμών της f' είναι το (0, + )
γ) (f') (x)=e -f(x) για κάθε x 0
-1
δ) Η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0, + )
ε) Αν η συνάρτηση f' είναι συνεχής, τότε

1) lim f'(x) 0
x
2) lim f'(x)= +
x 0
3) lim f(x)
x
0
4) lim f(x)
x
στ) Αν f' (1)=1 τότε
1) lim 1
x 1 f(x)-x+1
2) f(x)dx (β-1) -(α-1) 2 (0 )
2
2
-f f(β) -f(α)
ζ) 1) Αν 0 τότε α<e β -α <β
1 e -f 2x f x 1 -f 2x
1
2) 2 < e dx<1
1

10.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g:[1, + ) με τύπους

2
f(x)=| x-α | +α x 2 , g(x)=x +x-β (α, β )
2
ημx
lim
Γνωρίζουμε ότι x g(2) - 5 x 1
α) Να αποδείξετε ότι β=1
β) Να βρείτε τον αριθμό α ώστε οι συναρτήσεις f, g να είναι
ίσες στο διάστημα [1, + )
γ) Για α=1 να εξετάσετε αν:
1) Υπάρχουν σημεία της f με την ίδια τεταγμένη

f(2+συνx)-11
lim
2) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 3 x 0 f (5)x 2
-1
7

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017