Page 267 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 267

5.
Η ανεξάρτητη μεταβλητή x και η εξαρτημένη μεταβλητή y

μιας αντιστοιχίας f: συνδέονται μ ε τη σχέση:
2
yx +2(y-x)=1
α) Είναι η παραπάνω αντιστοιχία συνάρτηση;
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
2x+1
Στη συνέχεια αν f(x)= x +2
2
β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο
1
γ) Να αποδείξετε ότι τ ο σύνολο τιμών της f είναι τ ο - 2 , 1
f(συνx)
δ) Να βρείτε τ ο lim x
x +
ε) Να λυθεί η εξίσωση ημx× f(x)=x στο διάστημα (0, π)
3π
στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι= π 4 f(x) dx
6

6.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με τύπους

x 2
f(x)= 1-x , g(x)= x-λ (λ )
για τις οποίες γνωρίζουμε ότι:

 ● ορίζεται ο αριθμός f(2-λ)

 ● για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f g ισχύει

 D ( , 1 )
f g
α) Να αποδείξετε ότι λ=1
β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός (0, 4) ανήκει στο σύνολο
τιμών της g

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)g(x)+ 1 = 0 έχει μονα-
x
1 , 1
δική ρίζα στο διάστημα lim(f(x)g(x))
x 1
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που οριζεται
από τη C f , τον άξονα χ'χ, την κατακόρυφη ασύμπτωτη
της C g και την ευθεία χ=0.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017