Page 270 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 270

11.
Δίνεται η συνάρτηση f:(0, + ) με τύπο
f(x)=x +2lnx+1.
4
α) Να μελετήσετε τη f ως προς τη μονοτονία και τα ακρό-
τατα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ =ln 1 -1 έχει μοναδική
4
2
λύση για κάθε λ>0.
δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
ε) Αν η f-1 (αντίστροφη της f) είναι συνεχής, να υπολογί-
σετε το ολοκλήρωμα :
2
-1
Ι = 0 f (t) dt

12.
Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται α πό τη ίνονται οι συναρτήσεις f,
Δ g με τύπο
1
C f και τον άξονα χ’χ . (0, + )
1 και g(x)=2lnx με χ
f(x)=
x
Nα βρείτε

α) το πρόσημο της συνάρτησης h(x)=f(x)+g(x)
β) το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τις C f , C g
και τις ευθείες χ=1, χ=λ.
γ) το όριο lim Ε(λ)

δ) το όριο lim Ε(λ)
0

13.
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους
2

f(x)= ln(x-x ) , g(x)= 1-θx (0< θ 1)
1
α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός e -1 δεν ανήκει στο πεδίο
θ
ορισμού της συνάρτησης f g
2
β) Αν επιπλέον ισχύει: συν(g(1))=1-g (1)
να αποδείξετε ότι
1) θ=1

2) f(x)+ημ(g(x)-f(x))<g(x) για κάθε x (0, 1)
2
3) θ g(x) dx 6
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017