Page 265 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 265

Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η . . .

1.
Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f:[0,2] και η
h: για τις οποίες ισχύει :
2
● lim x -f(2)x+f(0) =2
x 2 x-2
3
 ● f(h (x)+h(x))-f(x)=x-h (x)-h(x),για κάθε x
3
α) Nα βρείτε το είδος της μονοτονίας της f
β ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
g(x)=f (2-x)-f (x)
-1
2
γ) Να αποδείξετε ότι η h (x)+h(x)=x για κάθε x και στη
3
συνέχεια ότι είναι γνησίως αύξουσα και ότι h( )= .
Επίσης να βρείτε το πρόσημο της h.
δ) Να αποδείξετε ότι η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη

στο πεδίο ορισμού της και στην συνέχεια να βρείτε το
σημείο καμπής της.
ε) Nα υπολογίσετετο εμβαδόν που σχηματίζεται από την

γραφική παράσταση της h την εξίσωση της εφαπτομέ-
νης στο σημείο καμπής της και τις ευθείεςχ = -2 και χ=2
- 1
με την προυπόθεση ότι η h είναι συνεχής στο

2.
Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με την ιδιό-
τητα (f'(x)) >-6ημ(f'(x)) για κάθε x
3

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
β) Αν επιπλέον ισχύουν:
 ● f(x)+f(-x)=-1 για κάθε x

1
 ● Η ευθεία με εξίσωση y= f(x)dx είναι οριζόντια ασύμ-
-1

 πτωτη της C στο -
f
1) Να λύσετε την εξίσωση
x=e x + f(x)
2) Να βρείτε το

lim e ημf(x) -e f(x)
x + ημ(f(x))-f(x)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017