Page 266 - olokliroma

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός 266

3.
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: για τις οποίες ισχύουν οι
σχέσεις:

e -1
x
 ● g(x)= , x
x
e -x

 ● f(0) (e -x) dx= 0
x
0
 ● f'(x)-2f(x)= 2 1 f(x) dx-e +5,για κάθε x
2
0
Να αποδείξετε ότι
α) η g έχει δύο τοπικά ακρότατα στις θέσεις x , x με
0
x <1<x και να προσδιορίσετε το είδος τους. 1
0
1
β) f(x)=e 2x
-1, για κάθε x
γ) 1) f(x)-f(α) < f(β)-f(x) για κάθε x (α, β)
x-α β-x
2) β f(x) dx< β-α (f(β)+f(α))
α 2
2
δ) υπάρχει [0, π]: f(ξ )= 1 π (ημx× f(x )) dx
2
2 0

4.
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:[ 0 , ) η οποία ικανο-
ποιεί τις σχέσεις:
π
x
● f(x) e για κάθε x 0, 2
π
2
x
 ● f (x)-2e f(x)+e 2x συν xγια κάθε x 0, 2
2

π π
 ● 2 f(x) dx= e
2

0

x
 ● f(x)=e +συνx για κάθε x ,
2
Να αποδείξετε ότι
α) f(x)=e +συνx για κάθε x [ 0 , )
x
β) για κάθε α>0 η εξίσωση e -2+ημα=α-συνx έχει μια
x
τουλάχιστον ρίζα στο [0 , )
π
π π
γ) 2 e f(x) dx= e +e 2 -1
x
0 2
π
δ ) υπάρχει π , π : π e +2e = 2 π e f(x) dx+2
2
ξ
x
2
2 2 0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017