Page 17 - TEYXOS_A

6.4. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ 363

( + 2) + − 5
ii. Nα υπολογίσετε το lim
→ − 2
(Μονάδες 5+7+7+6)

Θέμα Γ

Δίνεται συνάρτηση ∶ ℝ → ℝ για την οποία ισχύει:

() + () = 1 + , για κάθε ∈ ℝ

Γ1. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται.

−
Γ2. Να λύσετε την εξίσωση () = 1

Γ4. Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το ℝ.

Γ5. Αν η είναι γνησίως μονότονη, τότε:

α) να βρείτε το είδος της μονοτονίας της

β) να λύσετε την ανίσωση: ( + ln ) > ()

(Μονάδες 5+7+7+6)

Θέμα Δ

− − − 2
Δ1. Δίνεται η συνάρτηση () = ln
− 3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

β) Να βρείτε τα όρια lim (), lim (), lim ().
→−∞ → →

Δ2. Δίνεται η συνάρτηση () = + − 2

i. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό στο (1, 2) για το οποίο ( ) = 0.

ii. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση συνεχής στο (0, +∞) και σύνολο τιμών το (0, 1).
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

() () 1
= +
− − 1 −
έχει μια τουλάχιστον ρίζα.

(Μονάδες 4+9+6+6)

Τάσσος Δήμου