Page 12 - TEYXOS_A

3.2. ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ 221

− − 8
Άρα δε υπάρχει το lim

→ − 4
• Αν − 4 = 0 ⇔ = 4, τότε έχουμε:

4 − 4 − 8 4( − − 2) 4( − 2)( + 1) 4( + 1)
lim = lim = lim = lim = 3

→ − 4 → ( − 2)( + 2) → ( − 2)( + 2) → + 2
Εύρεση ορίου με βοηθητική συνάρτηση

Θέτουμε την παράσταση που μας δίνεται το όριο (που περιέχει την ()) ίση με συ-

νάρτηση ℎ() και λύνουμε ως προς (). Ακολούθως βρίσκουμε το όριο της (). Η λογική

σε αυτά τις περιπτώσεις είναι ότι δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει το lim (), οπότε δεν
→
μπορούμε να εφαρμόσουμε ιδιότητες ορίων.

2ημ ⋅ ()
Παράδειγμα 154. Να βρεθεί το όριο lim () αν ισχύει lim = −∞

→ → −
Λύση
2ημ()
Θεωρούμε τη συνάρτηση ℎ() = με ≠ 0, 1, τότε έχουμε

−

ℎ() − ℎ()
() = ⇔ () = ⋅ ⋅ ( − 1).
2ημ 2 ημ
ℎ() 1 1
Είναι lim = −∞, lim = lim = = 1 και lim ( − 1) = −1
→ 2 → ημ → ημ lim ημ →
→
Άρα lim () = ((−1) (−∞)) = +∞
→
Παράδειγμα 155. Να βρεθούν τα όρια των και στο = 3 αν υπάρχουν και ισχύουν:

lim 2() − 3() = 5
→

lim () − () = −∞
→

Λύση
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪2() − 3() = ℎ()
⎨
Αν 2() − 3() = ℎ() () − () = () λύνουμε το σύστημα: ⎪ .
⎪
⎪
⎪
⎩() − () = ()
Έχουμε:
⎧ ⎧
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪2() − 3() = ℎ()
⎪2() − 3() = ℎ()
⎨
⎨
⎪ ⇔ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩() − () = ()
⎧
⎧ ⎩−2() + 2() = −2()
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪() = 2() − ℎ()
⎪() = 2() − ℎ()
⎨
⎨
⇔ ⎪ ⇔ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩() = 3() − ℎ()
⎩() − () = ()
Τάσσος Δήμου