Page 11 - TEYXOS_A
P. 11

220                                                                    3. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΟΡΙΑ


                                           −  +                         1      ()
                                              √
                Αντίστοιχα έχουμε lim                = lim   −  +  ⋅    = ± ∞.
                                                                √
                                     → −  2 − √ + 1  → −       2 − √ + 1
                                                                                             −  + 
                                                                                                √
                Αν  − 3 +  = 0 ⇔  =  √ 3 +  > 0 (3). Αντικαθιστούμε το  στην () =       ,  ≠ 3
                       √
                                                                                            2 − √ + 1
            και έχουμε:
                                          −  +   √ 3 +  −  + 
                                             √
                                                               √
                                  () =          =
                                         2 − √ + 1     2 − √ + 1
                                          3 +  −  +   3 +  +  +  2 + √ + 1
                                          √
                                                  √
                                                                    √
                                                           √
                                       =
                                            2 − √ + 1 2 + √ + 1  3 +  +  + 
                                                                    √
                                                                             √
                                            (3 − ) 2 + √ + 1  2 + √ + 1
                                       =                         =                .
                                         (3 − )  3 +  +  +   √ 3 +  +  + 
                                                                            √
                                                √
                                                         √
                              2
            Άρα lim () =
                  →     √ 3 + 
                          2      2
                Οπότε          =   ⇔  √ 3 +  = 3 ⇔  = 6, επομένως και  = 3 από (2)
                        √ 3 +   3
            Παράδειγμα 153. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του  ∈ ℝ το όριο
                                                           
                                                         −  − 8
                                                    lim             .
                                                             
                                                     →   − 4

            Λύση
                                                   
                               
                              −  − 8     −  − 8  1
                Έχουμε lim               = lim            ⋅       (1).
                                 
                         →   − 4      →    + 2     − 2
                      
                     −  − 8  4 − 2 − 8   − 4
                lim             =             =      .
                →   + 2          4          2
                Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
                                                    
                                                  −  − 8   − 4
               • Αν  − 4 > 0 ⇔  > 4, τότε lim             =       > 0
                                              →   + 2       2
                                                                
                                        1                      −  − 8 ()
                  Για  > 2 είναι lim      = +∞, οπότε lim               = +∞
                                                                  
                                  →  − 2            →   − 4
                                                                
                                        1                     −  − 8 ()
                  Για  < 2 είναι lim      = −∞, οπότε lim               = −∞
                                                                  
                                  →  − 2            →   − 4
                                             
                                            −  − 8
                  Άρα δε υπάρχει το lim
                                               
                                       →   − 4
                                                    
                                                  −  − 8   − 4
               • Αν  − 4 < 0 ⇔  < 4, τότε lim             =       < 0
                                              →   + 2       2
                                                                
                                        1                      −  − 8 ()
                  Για  > 2 είναι lim      = +∞, οπότε lim               = −∞
                                                                  
                                  →  − 2            →   − 4
                                                                
                                        1                     −  − 8 ()
                  Για  < 2 είναι lim      = −∞, οπότε lim               = +∞
                                                                  
                                  →  − 2            →   − 4
            Μαθηματικά Γ’ Λυκείου
   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16