Page 6 - TEYXOS_A

88 1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪ = ()
⎨
του συστήματος: ⎪ .
⎪
⎪
⎪
⎩ =
Πρόταση 1.3.5. (πρέπει να την αποδεικνύουμε αν τη χρησιμοποιήσουμε) Αν η ∶ → ℝ
είναι γνησίως αύξουσα στο , τότε και η − θα είναι γνησίως αύξουσα στο ().

Απόδειξη. Αφού η είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και «1-1», οπότε υπάρχει η αντί-

στροφη συνάρτηση.
Θεωρούμε τους τυχόντες < ∈ ().

−
−
Ας υποθέσουμε ότι η − είναι φθίνουσα στο (), τότε θα ισχύει ( ) ≥ ( ).

−
−
Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε ( ) ≥ ( ) ή ≥ που είναι

άτοπο,
−
γιατί υποθέσαμε ότι < , οπότε ( ) < − . Επομένως η − είναι γνησίως

αύξουσα στο − = ()

Πρόταση 1.3.6. (πρέπει να την αποδεικνύουμε αν τη χρησιμοποιήσουμε)
Έστω μια συνάρτηση ∶ Α → (). Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε ισχύει
−
() = () ⇔ () = ,

δηλαδή οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες

−
Απόδειξη. Έστω ότι υπάρχει ∈ () με () = () (1). Τότε:
−
−
() = () ⇒ () = () ⇒ () = (1)
Αρκεί να δείξουμε ότι () = .

• Ας υποθέσουμε ότι () > .

$ ()
Έχουμε () > Ô⇒ () > () Ô⇒ > (), που είναι άτοπο.

• Ας υποθέσουμε ότι () > .

$ ()
Έχουμε () < Ô⇒ () < () Ô⇒ < (), που είναι άτοπο.

άρα () = .

−
−
Αντιστρόφως αν () = τότε () = , οπότε () = ().
−
Τελικά αποδείξαμε ότι οι εξισώσεις () = () και () = είναι ισοδύναμες.
Μαθηματικά Γ’ Λυκείου