Page 10 - TEYXOS_A

120 1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

()

= () ⇒ = () Ô⇒ = − () ⇒ = − ⇒ = + και αντιστρόφως αν
"−"

= + ⇒ () = () ÔÔÔ⇒ () = .

−
Άρα η αντίστροφη της είναι η () = + για κάθε ∈ ℝ
Επίλυση εξίσωσης ή ανίσωσης με χρήση αντιστρόφων

−
−
α) Η εξίσωση () = , όπου ∈ , είναι ισοδύναμη με την () = () ή = ().

Αν το ∉ λύνουμε την εξίσωση ως έχει.

β) Αν γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη (έστω γνησίως αύξουσα):

−
−
• Αν ∈ τότε η ανισότητα () < γίνεται ισοδύναμα ( ()) < () οπότε

< ()

• Αν ∉ προσπαθούμε να λύσουμε την ανίσωση, όπως μας δίνεται.

Παράδειγμα 86. Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ℝ, σύνολο τιμών το ℝ,

και τύπο () = + + 2

(α) Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα.

−

(β) Να υπολογίσετε την τιμή (2) και να λυθεί η εξίσωση () = − + + 1
−

(γ) Να λυθεί η ανίσωση ( − ) > 0
Λύση

(α) Για κάθε , ∈ ℝ με < έχουμε:

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪ <
⎨

< ⇒ ⎪ ⇒ + < + ⇔ + + 2 < + + 2, άρα ( ) < ( ) οπότε

⎪
⎪
⎪
⎩ <

η είναι γνησίως αύξουσα.
(β) Αφού η είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και «1-1», άρα και αντιστρέψιμη.
Αν είναι η − αντίστροφη της , τότε αφού () = ℝ θα είναι
−

−
(()) = ⇔ ( + + 2) = .
Μαθηματικά Γ’ Λυκείου