Page 8 - TEYXOS_A

118 1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ύπαρξη και εύρεση αντίστροφης από δεδομένη σχέση

Α) α) Αποδεικνύουμε με τον ορισμό ότι η είναι «1-1»

−
β) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της , που είναι το πεδίο ορισμού της .

−
−
γ) Θέτουμε στη σχέση όπου () και λόγω της ιδιότητας ( ()) = βρί-
−
σκουμε τελικά την ()
−
Β) Αν θέλουμε να βρούμε μια τιμή της αντίστροφης π.χ. την ( ) αντικαθιστούμε στη

−
δοσμένη σχέση όπου το ( )

Παράδειγμα 84. Έστω η συνάρτηση ∶ → ℝ με σύνολο τιμών το ℝ (συμβολίζεται
(ℝ) = ℝ) για την οποία ισχύει

() + 2 () − + 1 = 0 , ∈ ℝ

(α) Nα δείξετε ότι η είναι «1-1»

(β) Nα βρείτε την αντίστροφη της

Λύση

(α) Για κάθε ∈ = ℝ έχουμε

() + 2 () − + 1 = 0 ⇔ () + 2 () + 1 = (1)
Εργαζόμαστε σύμφωνα με τον ορισμό του ”1-1” για ν’ αποδείξουμε ότι η είναι
αντιστρέψιμη κι έχουμε:

Αν , ∈ ℝ ( ) = ( ) είναι:

⎧
⎪ = ( )
⎪
⎪ ( )
⎪
⎨
()

( ) = ( ) ⇒ ⎪ ⇒ ( ) + 2 ( ) + 1 = ( ) + 2 ( ) + 1 Ô⇒ =

⎪
⎪
⎪
⎩ ( ) = ( )
Άρα η είναι «1 -1».

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση () = +2 +1, που είναι γνησίως αύξουσα. Πράγματι για
κάθε , ∈ ℝ είναι:

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου