Page 13 - TEYXOS_A

222 3. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΟΡΙΑ

με lim ℎ() = 5 και lim () = −∞.
→ →
Έχουμε λοιπόν:

lim () = lim (3() − ℎ()) = 3(−∞) − 5 = −∞
→ →
lim () = lim (2() − ℎ()) = −∞
→ →

()
Παράδειγμα 156. Αν lim = +∞ ή −∞ και lim () = ℓ ∈ ℝ, να αποδείξετε ότι, αν
→ () →
υπάρχει το lim (), τότε lim () = 0
→ →
Λύση
()
Θέτουμε ℎ() = οπότε () = ℎ() ⋅ (). Αφού lim ℎ() = +∞ ή −∞ θα είναι ℎ() > 0
() →
1
ή ℎ() < 0 κοντά στο άρα ℎ() ≠ 0 οπότε ορίζεται η συνάρτηση () = ⋅ () και

ℎ()
1
lim () = lim ⋅ lim () = 0 ⋅ ℓ = 0
→ → ℎ() →

3.3 Ασκήσεις για λύση

Κλασματική μορφή με όριο παρονομαστή το 0

1) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα όρια:

2 + 1 2 − 5
α) lim δ) lim

→ ( − 1) → √ − 6 + 9
3 + 1 3 4
β) lim ε) lim −
→− √2 − − 2 → 1 − 1 −

− 3 + 3 − 2
γ) lim στ) lim
→ √3 + − √3 − → ||

2) Να βρεθούν τα όρια:

9 − − 4
α) lim ε) lim

→ − 9 + 27 − 27 → − 2
√
− 3
β) lim − 5
στ) lim
→ − συν → − 6 + 9
2 √
ημ + ||
γ) lim ζ) lim
→ √ + 4 − 2√ + 1 → | + 1| − 2

− 3
δ) lim
→ ημ − 1

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου