Page 9 - TEYXOS_A
P. 9
1.3. ΘΕΩΡΙΑ 119
⎧
⎪
⎪
⎪ <
⎪
⎨
< ⇒ ⎪ ⇒ ( ) < ( ).
⎪
⎪
⎪
⎩2 + 1 < 2 + 1
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και «1-1». Επιπλέον η (1) με τη βοήθεια
της γράφεται () =
Αν = () τότε η (1) γίνεται + 2 + 1 = (2), άρα η εξίσωση (1) έχει λύση.
Πρέπει όμως να αποδείξουμε ότι η λύση αυτή είναι μοναδική. δηλαδή, να απο-
δείξουμε και το αντίστροφο. Έστω ότι = + 2 + 1. Θα δείξουμε ότι = ().
Πράγματι:
() "−"
() + 2 () + 1 = Ô⇒ () = () ÔÔ⇒ () = . Άρα για κάθε ∈ () = ℝ υπάρχει
−
μοναδικό ∈ ώστε = () ⇔ = (). Οπότε η δοθείσα ισότητα γίνεται
−
−
+ 2 − () + 1 = 0⇔ () = + 2 + 1 , ∈ ℝ
−
() = + 2 + 1
Παράδειγμα 85. Δίνεται η συνάρτηση () = + και η , τέτοια, ώστε:
() + () = (1) για κάθε ∈ ℝ
(α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
(β) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
(γ) Να βρεθεί η αντίστροφη της
Λύση
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪ <
⎨
(α) Για κάθε , ∈ ℝ με < έχουμε ⎪ ⇒ + < + ⇒ ( ) < ( ).
⎪
⎪
⎩ <
⎪
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
(β) Είναι (()) = () + () οπότε η (1) γράφεται (()) = . Έχουμε λοιπόν,
() $
< Ô⇒ ( ) + ( ) < ( ) + ( ) ⇒ ( ) < ( ) Ô⇒ ( ) < ( ), άρα η είναι
γνησίως αύξουσα στο ℝ
(γ) Η είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ, οπότε είναι «1-1», δηλαδή ορίζεται η − . Για να
βρούμε τον τύπο της − έχουμε:
Τάσσος Δήμου