Page 9 - TEYXOS_A
P. 9

1.3. ΘΕΩΡΙΑ                                                                                   119

                            ⎧
                            ⎪
                            ⎪
                            ⎪  <   
                            ⎪  
                            ⎨
                   <  ⇒ ⎪                   ⇒ ( ) < ( ).
                   
                                                             
                                                      
                            ⎪
                        
                            ⎪
                            ⎪
                            ⎩2 + 1 < 2 + 1
                                      
                  Άρα η  είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και «1-1». Επιπλέον η (1) με τη βοήθεια
                  της  γράφεται  () = 
                                                   
                                                        
                  Αν  = () τότε η (1) γίνεται  + 2 + 1 =  (2), άρα η εξίσωση (1) έχει λύση.
                  Πρέπει όμως να αποδείξουμε ότι η λύση αυτή είναι μοναδική. δηλαδή, να απο-
                                                                          
                                                                    
                  δείξουμε και το αντίστροφο. Έστω ότι  =  + 2 + 1. Θα δείξουμε ότι  = ().
                  Πράγματι:
                                      ()               "−"
                          
                   ()  + 2 () + 1 =  Ô⇒  () = () ÔÔ⇒ () = . Άρα για κάθε  ∈ () = ℝ υπάρχει
                                                         −
                  μοναδικό  ∈  ώστε  = () ⇔  =  (). Οπότε η δοθείσα ισότητα γίνεται
                                                    
                                                         
                                            −
                        
                   
                             −
                   + 2 −  () + 1 = 0⇔  () =  + 2 + 1 ,  ∈ ℝ
                                
                   −
                           
                   () =  + 2 + 1
                                                                
            Παράδειγμα 85. Δίνεται η συνάρτηση () =  +  και η , τέτοια, ώστε:
                                            ()  + () =  (1) για κάθε  ∈ ℝ


            (α) Να δείξετε ότι η  είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ


            (β) Να δείξετε ότι η  είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ

            (γ) Να βρεθεί η αντίστροφη της 


            Λύση
                                                        ⎧
                                                        ⎪
                                                        ⎪
                                                        ⎪
                                                        ⎪ < 
                                                        ⎨ 
                                                                                  
                                                                         
            (α) Για κάθε  ,  ∈ ℝ με  <  έχουμε ⎪          ⇒  +  <  +  ⇒ ( ) < ( ).
                                                                             
                                                        ⎪
                                                                                              
                                                                                       
                                                                                                     
                                          
                                
                             
                                              
                                                        ⎪
                                                        ⎩  <   
                                                        ⎪  
                  Άρα η  είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
            (β) Είναι (()) =  ()  + () οπότε η (1) γράφεται (()) = . Έχουμε λοιπόν,
                          ()                                                $
                   <  Ô⇒  (  )  + ( ) <  (  )  + ( ) ⇒  ( ) <  ( ) Ô⇒ ( ) < ( ), άρα η  είναι
                   
                                                                                           
                                                                                    
                        
                                      
                                                     
                                                                          
                                                               
                  γνησίως αύξουσα στο ℝ
            (γ) Η  είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ, οπότε είναι «1-1», δηλαδή ορίζεται η          −  . Για να
                  βρούμε τον τύπο της   −  έχουμε:
                                                                                             Τάσσος Δήμου
   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14