Page 16 - Kalkulus Variasi

Untuk contoh kedua, tinjau partikel bermassa m yang bergerak dalam
lintasan melingkar, sebagaimana diilustrasikan oleh Gambar 4, dan berada pada

pengaruh potensial ( , ). Energi kinetik yang terkait dengan partikel tersebut
1
2 ̇ 2
diberikan oleh = dengan r adalah jari-jari lintasan dan adalah sudut
2
dalam radian.
Lagrangian sistem tersebut adalah:

1
2 ̇ 2
= − ( , ) (40)
2
yang memiliki dua koordinat umum = dan = . Dari persamaan
2
1
Euler-Lagrange diperoleh:

̇ 2
− ( ) = − = 0 (41a)
̇

− ( ) = − − = 0 (41b)
2 ̈
̇
Sehingga diperoleh:

̇ 2
= (42a)

2 ̈
= (42b)

Dengan mendefinisikan bahwa = − dan = − . Jelas terlihat di

sini bahwa percepatan dalam arah diberikan oleh:

̇ 2
= (43)

yang tidak lain merupakan percepatan sentripetal. Sedangkan untuk

percepatan dalam arah diberikan oleh

2 ̈
= (44)

Sebagai catatan akhir, perlu ditekankan bahwa prinsip Hamilton memiliki

peranan yang cukup penting dalam Mekanika, Gelombang maupun dalam Teori
Medan dan dibanyak cabang Fisika lainnya.