Page 11 - Kalkulus Variasi

( ) → ( ) + ̇ ( ) (20b)
̇
̇

dengan { } merupakan parameter variasi untuk lintasan { } sedangkan

{ } adalah stasioner terkaitnya. Selanjutnya kita lakukan kembali variasi

terhadap fungsional tersebut sehingga memenuhi kondisi:

= ( )| + ( )| (21)

=0
=0
Dimana = , ̇ = dan = , ̇ = ̇ . Kembali dengan
̇

menggunakan integral perbagian diperoleh:
2
̇
∫ ( η ̇ ) = η ̇ | 2 − ∫ 2 ( ) η
1 Ω ̇ Ω Ω Ω ̇ 1 Ω ̇ Ω
1
= − ∫ 2 ( ) η (22)
̇
1 Ω ̇ Ω
Dengan Ω = atau . Dengan demikian diperoleh:

2
= ∫ {[ − ( )] + [ + ( )] } = 0 (23)
1 ̇ z ̇
Dan jelas bahwa:

− ( ) = 0 (24a)

̇

+ ( ) = 0 (24b)

z ̇
Misalkan kembali kita memiliki sistem yang memiliki sejumlah buah

( ) lintasan dimana = 1,2, … , dengan fungsional terkait diberikan oleh:

2
= ∫ [ , ̇ ] (25)
1 ,
maka melalui cara yang persis sama dengan kasus untuk dua lintasan,

persamaan Euler terkait untuk masing indeks diberikan oleh:

− ( ) = 0
1 1 ̇