Page 9 - Kalkulus Variasi

Contoh 1. Misalkan kita ingin membentuk suatu permukaan dengan luas

minimum melalui cara memutarkan sebuah kurva yang melewati titik-titik

( , ) dan ( , ) terhadap sumbu sebagaimana diilustrasikan pada Gambar
1
1
2
2
dibawah.

Gambar 2. Kurva x dan y

Untuk menentukannya, kita tinjau elemen luas yang besarnya ditentukan

2 ̇
oleh hubungan = 2 dengan = √ + sehingga total areanya

2 ̇
2
adalah: 2 ∫ √ + , sehingga fungsi terkait diberikan oleh
1
2 ̇
( , , ) = √ + . Jelas terlihat bahwa = 0 dan = ̇ . Subsitusikan
̇
̇ 2 ̇
√ +

hasil tersebut ke persamaan Euler (14) diperoleh ( ̇ ) = 0 atau

√ + ̇ 2

̇
= 0 (i)
√ + 2 ̇

Dimana c adalah sebuah konstanta. Bentuk persamaan (i) dapat diubah

2 ̇
menjadi ( − ) = , sehingga diperoleh:
2
2
2

= (ii)
2
√ − 2