Page 13 - Kalkulus Variasi

5. Penerapan dalam Fisika

Telah ketahui secara baik bahwa hukum kedua Newton merupakan suatu

rumusan empirik yang diperoleh berdasarkan pengalaman sehari-hari. Pertanyaan

yang kemudian timbul adalah apakah ada prinsip yang lebih fundamental, yang

mampu menjelaskan asal dari hukum tersebut. Hingga saat ini, secara fisis

memang belum diketahui prinsip apakah yang mendasarinya. Tetapi dipihak lain,

secara matematis, cara mengenai bagaimana bentuk persamaan diferensial hukum

kedua tersebut diperoleh telah diketahui dengan memanfaatkan kaidah kalkulus

variasi dan dikenal sebagai prinsip Hamilton, sebagaimana telah disinggung

sepintas pada bagian pendahuluan.

Misalkan untuk sebuah partikel yang berada pada pengaruh gaya memiliki

energi kinetik ≡ ( , , ), sedangkan gaya yang berpengaruh tersebut dapat
̇
diwakili oleh fungsi ≡ ( , , ), maka dapat dibentuk sebuah fungsi yang
̇

dinamakan fungsi Lagrange atau Lagrangian yang didefiisikan sebagai

( , , ) ≡ ( , , ) − ( , , ) (28)
̇
̇
̇
Dimana ≡ ( ) dan ≡ ( ) merupakan koordinat umum. Selajutnya
̇
̇
dapat pula dibangun sebuah fungsional yang terkait dengan fungsi Lagrange:

= ∫ (29)
2
1
yang dinamakan sebagai fungsional Aksi. Berdasarkan fungsional Aksi

tersebut, prinsip Hamilton mengatakan bahwa lintasan yang ditempuh oleh

partikel tersebut dari kedudukannya pada sampai dengan memiliki
2
1
fungsional Aksi yang stasioner atau dengan kata lain

2
= ∫ = 0 (30)
1