Page 8 - Kalkulus Variasi

Persamaan (14) dinamakan persamaan Euler yang menyatakan bahwa

keadaan stasioner fungsional hanya dapat dicapai jika fungsi F memenuhi

persamaan tersebut.

Penurunan persamaan (14) dengan menggunakan variasi adalah sebagai

berikut:

= ∫
2
1

2
̇
= ∫ ( + ) (15)
1 ̇
Serupa dengan persamaan integral (11), di bagian kedua dari ruas kanan

persamaan (15) dapat dinyatakan sebagai berikut:

2
2
∫ ( ) = ∫ 1 ( )
̇
1 ̇
̇
2
= ∫ 1 ( )

̇
2 2
= | − ∫ ( ) (16)
̇ 1 ̇
1
2
= − ∫ ( )
1 ̇
Dimana telah digunakan syarat variasi = 0 di = dan . Dengan
2
1
demikian diperoleh kembali bentuk:

2
= ∫ [ − ( )] = 0 (17)
1 ̇
Dan jelas bahwa suku di dalam kurung siku integral di atas adalah

persamaan Euler.

Perlu menjadi catatan penting bahwa semua problem dalam kalkulus variasi,

pada prinsipnya dapat dipecahkan dengan mencari fungsional , kemudian

mencari keadaan stationernya dengan mensubstitusikan fungsi F terkait pada

persamaan Euler untuk selanjutnya dicari lintasan yang dimaksud.