Page 5 - Kalkulus Variasi
P. 5
Jika kalkulus yang selama digunakan dalam persamaan gerak Newton
mengacu pada dinamika fungsi, maka dalam perumusan Hamilton, dinamika yang
ditinjau adalah dinamika fungsional dan kalkulus yang terkait dinamakan sebagai
kalkulus variasi. Perlu dicatat bahwa penerapan kalkulus variasi dalam Fisika
tidak hanya terbatas pada menurunkan persamaan gerak Newton (Alatas).
1. Prinsip Variasi
Dalam formulasi kalkulus biasa, problem mencari ekstremal (titik-titik
ekstrim) dari suatu fungsi ( , ), secara sederhana dilakukan dengan
memecahkan kondisi = + = 0 yang megimplikasikan = 0 dan
= 0, dimana titik (x,y) yang memenuhi kondisi tersebut merupakan titik-titik
kritis yang dapat berupa titik maksimum dan titik minimum. Titik-titik kritis
tersebut secara khusus juga disebut sebagai titik stasioner. Jelas, pertanyaan
mengenai apakah suatu dinamika dari suatu sistem memiliki maksimum-minimum
merupakan hal yang cukup penting dijawab dan kadang-kadang memiliki derajat
kesulitan yang tinggi.
Gambar 1. Kurva titik x dan titik y
Berbeda dengan kalkulus biasa, sebagaimana telah disinggung pada bagian
pendahuluan, dalam kalkulus variasi kita berhubungan dengan keadaan stationer
dari suatu fungsional. Misalkan:
