Page 4 - Kalkulus Variasi

Pendahuluan

Dalam Fisika, peranan kalkulus sebagai salah satu alat untuk

menggambarkan dinamika dari suatu sistem memiliki peranan yang sangat

penting. Penerapannya dalam menggambarkan hukum gerak Newton misalnya,

melibatkan posisi ⃗ yang secara eksplisit dinyatakan sebagai fungsi dari waktu

dan memenuhi persamaan diferensial yang sudah kita kenal. Jelas, pada dasarnya

persamaan gerak Newton digunakan untuk menentukan pola lintasan dari suatu

benda akibat kendala yang ditimbulkan oleh gaya yang bekerja padanya.

Hukum Newton pada dasarnya merupakan hukum empirik yang diperoleh

berdasarkan pengalaman sehari-hari. Secara matematika, persamaan gerak

Newton bagi sistem konservatif dapat diturunkan dari suatu prinsip yang lebih

umum yang dikenal sebagai prinsip Hamilton, atau dikenal juga sebagai prinsip

variasi, melalui pendefinisian ”aksi” yang merupakan sebuah ”fungsional”

berbentuk integral:

= ∫ ( , , ) (1)
̇

dengan L merupakan suatu fungsi dari kecepatan = = dan posisi r ,
̇

yang notabene adalah fungsi dari waktu. Dalam prinsip ini, persamaan dinamika

Newton terkait dapat diturunkan dengan mencari ekstremal dari fungsional aksi,

yakni dengan melakukan ”variasi” terhadapnya sedemikian rupa sehingga:

= 0 (2)

dimana menyatakan simbol variasi. Prinsip ini ternyata memiliki peran

yang lebih fundamental, dapat ditunjukkan bahwa seluruh problem fisis tunduk

pada prinsip tersebut, sehingga kadang dinamakan sebagai god given rule.