Page 7 - Kalkulus Variasi

= (7)

2. Persamaan Euler

Selanjutnya, dengan melakukan manipulasi kalkulus biasa, variasi

persamaan (5) diberikan oleh:

= ∫ [ , ( ), ( ); ]
2
̇
1
2
= [∫ ( + ̇ ) ] (8)
̇
1
Dengan catatan = 0.

̇
= , = ̇ (9)

Maka diperoleh:

2
[∫ ( + ) ] (10)
̇
1 ̇
Kemudian tinjau persamaan (10), dengan memanfaatkan integral perbagian

diperoleh:

̇ 2

∫ 2 = | − ∫ 2 ( ) (11)
1 ̇ ̇ 1 ̇
1
Mengingat di titik-titik ujung ( ) = ( ) = 0, maka integral (10)
2
1
tereduksi menjadi:

2 2
̇
∫ = − ∫ ( ) (12)
1 ̇ 1 ̇
Sehingga dengan demikian diperoleh untuk persamaan (10) sebagai berikut:

2
= {∫ [ − ( )] } (13)
1 ̇
Karena secara umum ≠ 0 dan sembarang, maka kondisi yang harus

dipenuhi agar variasi berharga nol adalah:

− ( ) = (14)
̇