Page 12 - Kalkulus Variasi

− ( ) = 0 (26)
2 2 ̇

− ( ) = 0
̇

Misalkan dari sejumlah persamaan tersebut terdapat < dengan

persamaan dimana ( ) = 0, maka sistem tersebut memiliki integral
1 ̇

pertama.

4. Persamaan Lagrang

Andaikan F adalah sebuah fungsi yang diketahui sebagai fungsi dari y, z,

dy/dx, dz/dx, dan x, dan kita ingin memperoleh dua kurva = ( ) dan = ( )

yang dapat membuat = ∫ stasioner. Dengan demikian, nilai integral I

bergantung pada kedua ( ) dan ( ) sehingga, dalam kasus ini, ada dua persamaan

Euler, satu untuk y dan satu untuk z, yaitu :

( ) − = 0 (27)
′

( ) − = 0 (27)
′

Persamaan di atas memilki peranan penting dalam penerapannya dalam

mekanika. Dalam fisika dasar, hukum Newton II, F = ma, adalah persamaan

fundamental. Dalam mekanika lanjut, sering digunakan asumsi yang berbeda yang

sering disebut Prinsip Hamilton. Asumsi ini menyatakan bahwa setiap partikel

atau sistem partikel selalu bergerak dalam suatu cara yang mana = ∫ 2 1

stasioner, di mana = − disebut Lagrangian, T adalah energi kinetik, dan V

adalah energi potensial dari partikel atau system.