Page 15 - Kalkulus Variasi

Misalkan jumlah koordinat umum yang terdefinisi dalam Lagrangian terkait

lebih dari satu sehingga ≡ ( , , … , , , ̇ , … , ̇ , ), maka berlaku untuk
̇
2

2
1
1

masing-masing koordinat , :
̇

− ( ) = 0 (37)
̇

Sebagai contoh pertama, tinjau sistem sederhana yang terdiri atas sebuah
1
2
partikel bermassa m dengan energi kinetik = , yang berada pada pengaruh
̇
2
1
2
gaya pegas dengan fungsi potensial diberikan oleh = . Jelas bahwa
2
Lagrangian terkait diberikan oleh:

1
1
2
= − (38)
2
̇
2 2
Substitusikan persamaan (38) ke dalam persamaan Euler-Lagrange (31)
dengan koordinat umum = dan = ̇
̇

− ( ) = 0
̇

1 2 1 2 1 2 1 2
( − ) ( − )
̇
̇
2 2 − ( 2 2 ) = 0
̇
sehingga diperoleh − − = 0 atau
̈
= (39)
̈
yang tidak lain merupakan persamaan gerak Newton bagi sistem partikel

dengan pegas.

Gambar 4. Massa bergerak dalam lintasan melingkar