Page 14 - Kalkulus Variasi

yang mengimplikasikan bahwa Lagrangian memenuhi persamaan:

− ( ) = (31)
̇

yang selanjutnya disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange. Dengan

mensubstitusikan persamaan (29) diperoleh:

− ( ) = − ( ) (32)
̇ ̇

Untuk melihat hubungan antara persamaan (33) dengan hukum kedua

1
2
Newton, kita tinjau kasus khusus dimana ≡ ( ) = sedangkan = ≡
̇
̇
2
( ). Jelaskan bahwa untuk kasus tersebut persamaan (32) tereduksi menjadi:

̈
= − (33)

Dengan menulis:

( ) = − (34)

Persamaan (33) segera terlihat persamaan diferensial untuk hukum kedua

Newton:

= ( ) (35)
̈
Dalam kasus khusus ini, fungsi ( ) mewakili gaya konservatif, sedangkan

( ) dinamakan sebagai fungsi potensial.

Kembali pada persamaan umum (32), untuk sistem yang melibatkan gaya

yang bersifat konservatif, hukum kedua Newton dapat dituliskan sebagai:

̇
− ( ) = ( , , ) (36)
̇

Dengan = − ( ) merupakan gaya umum non-konsevatif yang
̇
terkait.