Page 2 - 高一 重修班講義 單元 第一冊 第一章 數與坐標

周昭景 2017 老師編製
循環小數與分數的轉換：循環小數是有理數, 任何有理數均能轉化為分數, 可遵循下列規則進行轉換. b d

有理數的四則運算：若 , x y Q , 則可表示為 x  , y  , 其中 , , , c d 均為整數, 其四則運算如下.
a b
Step1. 將循環小數設定為變數 x . a c
Step2. 調整 x , 使循環項由小數點後第一位開始, 設定為第(1)式. Step 1.設 x  2.345 b
倍
Step3. 重複 Step2. 產生的新式設定為第(2)式. Step 2.同  10 , 得 10x  23.45......(1) (1) 加減法, x   b  d  bc ad (2) 乘法, x y   b  d  bd (3) 除法, x y  a  b  c  bc

/
y
倍
Step4. 將(1), (2)兩式相減, 解 x . Step 3.再同  100 , 得 1000x  2345.45......(2) a c ac a c ac d a d ad

Step 4.(2) (1)   2345 23  2322 # c

x
990 990 【概念一】任意兩個有理數四則運算的結果, 若數字存在, 則仍為有理數.
【速算法】 【概念二】說明一個數是否為有理數方法有兩種, 表示為分數或利用兩個有理數透過四則運算表示.
總數  非循環數
(1) 循環小數有幾個循環位數, 分數分母就會有幾個"9". 循環小數 
9 90 0
(2) 小數點後有幾個非循環項, 則分數分母就有幾個"0". abcdef  abc 【補充】有理數與有理數之間, 有無限多個有理數; 可知有理數在數線上的呈現是非常稠密的, 稱為「稠密性」.
.
(3) 不考慮循環小數的小數點, 分數分子   總數 非循環數. e . .g a bcdef  99900 # 例05. 試根據下列題型計算化簡各式, 或由方程式求解變數 x 值.

2
例04. 將下列循環小數化成分數： 1 1 1 1 2 4 7 39 3
(1)   (2)   (3) (4)  

(1) 0.2 (2) 0.23 (3) 0.234 (4) 2.345 2 3 5 2 3 5 6 8 x 4
35

1 1
例06. 請試著在 和 之間任意找出 3 個有理數. (有多種解)
3 4

練04. 將下列循環小數化成分數：

(1) 0.5 (2) 0.53 (3) 0.304 (4) 1.429
練07. 試根據下列題型計算化簡各式, 或由方程式求解變數 x 值.


0.23 0.45 0.67
練05. 試計算 的值. 32


0.23 0.45 0.67 1 1 1 3 4 5 70 36 x  7
(1)   (2)   (3) (4) 
3 4 5 10 11 12 48 123  41
練06. 下列有關循環小數的敘述中, 請選出正確的選項. (88 學測) 35
1 4 5



(A) 0.343不是有理數 (B) 0.34  (C) 0.34 0.343 (D) 0.34 0.35 (E) 0.34 0.343 練08. 請試著在 和 之間找出 3 個有理數.
3 5 6

練09. 試化簡下列各循環小數的四則運算, 並表示成最簡分數：



(1) 0.3 0.4 0.5 (2) 0.36 0.21

練10. 下列有關循環小數的敘述中, 請選出正確的選項. (102 數乙)







(A) 0.7 0.3 0.6 0.4   (B) 0.72 0.28 1. 1 (C) 0.7 0.3 1 (D) 0.5 0.5 1 (E) 0.49 0.5


練11. 若兩數 a  2 , b a b 均為有理數, 試問 , a b 是否必為有理數？
1
2

練12. 小樺的數學符號常常表示地不夠細膩, 某次她在作業寫了一個分數 , 但三條分數線的高度長短均無法
3
明確分辨, 試問這表示法有那些可能的分數, 請化簡並列舉出來. 4

2