Page 4 - 高一 重修班講義 單元 第一冊 第一章 數與坐標

周昭景 2017 老師編製
根式的計算：含有根號的式子稱之為「根式」, 其二次根式具有下列運算性質.
例15. 設 14  4 10 的整數部分是 a , 小數部分是b , 求數對( , ) b 的值.
a
(1) 設 a  , 若 x  , 則 x   a .
2
a
0
a a
(2) 設 , a b  , 則 a  b  ab 且  .
0
b b


無理數 a b x 的相等性質：若 , a b Q, 則無理數之間直觀上具有下列性質.

(1) 若 a  b x  c  d x , 則 a  且b  d (2) 若  b x  0 , 則  b  0
c
a
a

a
例12. 設 x, 均為有理數, 並滿足方程式 (2  3)x  (1 3)y   3 , 試求 x, 的值. 練23. 設下列雙重根號式中, 整數部分是 a , 小數部分是b , 求數對 ( , ) b 的值.
y
7
y

(1) 14  6 5 (2) 11 72

a
練24. 有一正數是 a (含整數及小數), 其小數部分是b , 且a 2  b 2  40 , 求數對( , ) b 的值.
練20. 設 x, 均為有理數, 並滿足方程式 x  y 2   y
3 5 2 , 試求 x, 的值.
y
練25. 設 b 為有理數, 且滿足 2 (  ) 2 a  b 17  12 2  8  3 2 , 求數對( , ) b 的值.
a,
a

練21. 設 x, 均為有理數, 並滿足方程式 (2 3 5)x  (1 2 5)y  10  5 , 試求 x, 的值.

y
y


a b
分母有理化：將原本帶有根式的分母透過計算化為沒有根式的計算, 稱為「分母有理化」. 無理數根式大小關係的判斷：若 , , , c d Q , 則無理數 a  b 與 c  d 之間的大小關係, 有以下類型.
  
例13. 試利用分母有理化將下列各小題化簡. (1) 根號內的和相同, 即 a b c d , 則可透過平方展開比較大小.
  
(2) 根號內的積相同, 即 a b c d , 則可透過平方展開比較大小.
1 1 1
(1) (2) 
  
2  3 5  3 5  3 (3) 根號內的差相同, 即 a b c d , 則可透過倒數並有理化分母後, 再來比較大小.
2
【經驗】在實際進行判斷時, 有些數會以整數 k 呈現, 為準確判斷類型, 可將其轉化為 k 即可.

例16. 試比較下列根式的大小關係.


(1) A  5 2, B  6  3, C  7  2 (2) A  6 2, B  3  8, C  2  12
練22. 試利用分母有理化將下列各小題化簡.
1 2 2 1 2
(1) (2)  (3) 
5 2 7  5 7  5 2  3 3  5

(3) A  13  11, B  2 5 2, C  3 2  6 (4) A  5  3, B  6 2, C  7  5

) 2 a b , 其中 a b 
雙重根號的化簡：若一雙重根號數 m  n 有機會表示成 (a b    0 ;

  2   2
) 2 a b 

則利用 a  b  (a b ) a b , 我們可以得到 m n  (a b   a  b  a  b .
練26. 試比較下列根式的大小關係.




2
e.g. 5 24  5 2 6  (3 2) 2 3 2  ( 3  2)  3  2 #
(1) A  2 2  7, B   6, C  10  5 (2) 請判斷 31 比較接近 30 或 32 那一個數?
3
例14. 請透過處理雙重根號的技巧, 化簡下列各式：

(1) 12 4 5 (2) 7 2 12 (3) 8 60 (4) 4 7 練27. 關於下列不等式, 請選出正確的選項. (103 學測)
(A) 13 3.5 (B) 13 3.6 (C) 13  3  10 (D) 13  3  16 (E) 1  0.6
13  3

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