Page 7 - 高一 重修班講義 單元 第一冊 第一章 數與坐標
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周昭景 2017 老師編製
a b
a b (補充) 柯西不等式(Cauchy-Schwarz inequality)：設 , , , x y R , 則
算幾不等式：對任意正實數 , a b , 我們稱 為算術(加法)平均數, a b 稱為幾何(乘法)平均數, 兩平均數滿足
2
x y
( a b 2 )( x y 2 ) (ax by , 其中「等號」成立於 (比值相同)
2
2
2
)
a b a b
「算術平均數 幾何平均數」, 即 a b , 等號成立在 a b 時 .
2
Proof : 因此 ," "成立於 bx ay ,
2
2
(a b 2 )(x y ) 2 x y
2
) (ax by
【補充一】右圖為 , a b 所能形成的運算組合, 可透過圖形比較大小關係. 或常表示為 a b , ( , a b 0).
2
2
2
a x a y b x b y ( a x 2 2 2abxy b y )
2
2
2
2
2
2
2
a a a x y
【補充二】算幾不等式於 n項亦存在, 即 1 2 n n a a a . b x 2abxy a y 2 亦即當 時 ,
2
2
2
n 1 2 n a b
(bx ay ) 0 . (a b 2 )(x y 2 ) (ax by ) 2 #
2
2
2
x
例07. 已知 , x y R , 請利用算幾不等式, 求下列變數組合的最大值或最小值, 並討論產生極值時的數對 ( , ) y .
(1) x y 12, 求 xy 最大值. (2) xy 64, 求 x y 最小值.
【補充】柯西不等式在 n 項亦成立 ( n 2, 3, 4,......),
2 2 2 2 2 2 2 x x x x
即(a a n )(x x n ) (a x a x n n ) ; 此時" "成立於 1 2 3 ...... n .
... a x
... a
... x
1 1
2
1
2 2
2
1
a 1 a 2 a 3 a n
y
例08. 設 x, y 為實數, 試求出下列各範圍與所對應的 x, 值：
2
2
2
2
y
x
(1) 若 x 2 y 2 4 , 求 x 3 的範圍. (2) 若3 y 7 , 求 x y 的最小值.
練21. 已知 , x y 均為正實數, 則試透過算幾不等式, 求下列變數組合的最大值或最小值.
(1) 滿足5x 3y 4 , 求 xy 的最大值 (2) xy , 求 2x y 的最小值.
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練22. 設函數 ( ) x x 在 x a時, 有最小值 m , 求數對 ( , ) .
2
x
f
a m
x 2 x 2 例09. 設 , a b R , 滿足 (a 1) (b 2) 20 , 試求 a 2b 3的最大值和最小值, 並找出產生最大值與最小值時,
2
2
所分別對應的 , a b 值.
練23. 有一農夫想用 66 公尺長的竹籬圍成一長方形菜圃, 並在其中一邊正中央
留著寬 2 公尺的出入口; 如右圖, 此農夫所能圍出的最大面積為多少 菜埔
平方公尺？ (95 數乙)
y
練24. 如右圖, 某動物農莊希望在河邊圍出三間全等的矩形牧場, 練26. 設 x, y 為實數, 試求出下列各範圍與所對應的 x, 值：
2
2
靠河的一邊不須圍籬; 圍籬共長 48 公尺, (1) 若 x 2 y 2 10, 求 x 3 y 的範圍. (2) 若3 x 2 y 13, 求 x y 的最小值.
試問此三間牧場的總面積最大是多少平方公尺？
2
2
練27. 設 , a b R , 滿足 (a 1) (b 2) 13, 試求3a 2b 的最大值和最小值, 並找出產生最大值與最小值時, 所
分別對應的 ,a b 值.
練25. 右圖一個直徑 8 單位長的半圓, 底面為直徑並做出等分點,
再由各等分點向上做出垂直線段, 16 81
練28. 設 a, 為實數, 求 4( a 9b )( )的最小值, 以及此時 a, 的關係式為何？
b
b
試將每一條垂直線段的長度都標示出來. a b
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