Page 3 - 高一 重修班講義 單元 第一冊 第一章 數與坐標

周昭景 2017 老師編製
無理數的概念：雖然有理數在數線上非常稠密, 但數線上在任意兩數之間仍有數不盡的點無法用有理數來呈現, 實數(real number)：有理數和無理數合稱為實數, 代表可以在數線上被標示出來的值, 以符號 R 表示.
這些數字稱為無理數; 其數值在小數的表現上是「不循環的無限小數」, 如 2, 3, 3 2 , 1 2,.... 等. 實數的大小關係：任意兩實數可以比較大小, 標記在數線愈右邊的值, 對應的實數愈大, 並滿足下列性質.



(1) 三一律：「 a b 」,「 a b 」,「 a b 」, 三種次序關係中恰(僅)有一種關係成立.



有理數與無理數間的四則運算：將有理數與無理數彼此交互作加減乘除的四則運算, 結果如下. (2) 遞移律：若 a b 且b c , 則 a c 恆成立.
   ac bc , c  0




  
(1) 有理數   有理數  有理數 ; (又稱有理數在四則運算上的「封閉性」) (3) 運算性質：若 a b , 則加法運算滿足 a c b c , 乘法運算滿足  .

 ac bc , c  0
  (4) 對任意實數 a , 其平方數 a  恆成立.
2
0


(2) 無理數   無理數  不一定 ; (e.g. 2  3 是無理數, 但 (1 3) (1  3) 2 卻是有理數.)
  實數的絕對值：設 a R , 則實數a 的絕對值記作 | | a , 滿足以下性質.

(3) 有理數  無理數  無理數 ; (e.g. 2  3 是無理數.)  , a 當 a  0 2
  (1) | | a    , a 當 a  0 (2) | | 0a  (3) | a | | |a (4) a  | |a


(4) 有理數  無理數  不一定 ; (e.g. 0 2 是有理數 0, 但 2 2 卻是無理數. )

a
實數的乘法公式：設 , , b c R , 透過乘法與加法的分配律可得到以下常用的計算公式.

(a b  a  2ab b 2

2
2
)
) a 




 
2
2
2
2
2
)
)
有理數與無理數的尺規作圖：若已知單位長, 所有的有理數 n 均可利用尺規作圖在數線上表示大小; 無理數則 (1) (2) (a b )(a b  2 b (3) (a b c  a  b  c  2(ab bc ca
m (a b  a  2ab b 2


)
2
2



3
2
3
3

2
2
3
)
僅確定二次根號數 x 或 a b x 可尺規作圖表示, 其餘則需觀察確定. (a b  a  3a b  3ab  b 3 a  b  (a b )(a  ab b 2 )
(4) 3 3 2 2 3 (5) 3 3 2 2



)
e.g. 利用尺規作圖作出 n 的長度. e.g. 利用尺規作圖作出 x , 其中 x Q (a b  a  3a b  3ab  b a  b  (a b )(a  ab b )
m 例09. 若 x , 且滿足下列絕對值方程式, 求 x 值.
R


x 
m (1) | | 3 (2) | x  2| 3 (3) | 2x  3| 4

Step1. 分解 x  a b .

n Step2. 以 a b為直徑作半圓.

ab
Step3. 如圖垂線段即為 x .
0 1 a b


例10. 已知實數 , a b滿足| a b 1| (a  2b 1)  , 試求 , a b 值.
2
0
例07. 判斷下列那些是無理數？
3
(A) 0.23456 (B) 0.23456 (C) 3 2 (D) 256 (E) (F)  (圓周率
)

2 1
例08. 請利用尺規作圖, 在數線上標出下列數值. 1 1 1
2
例11. 已知 x   4 , 試求 x  與 x  的值.
3
3 7 x x 2 x 3
(1) (2) (3) 3
5 4

R
練16. 若 x ,且滿足下列絕對值方程式, 求 x 值.

x 
(1) | | 2 (2) | x  1| 4 (3) | 7 3 | 2x 
練13. 判斷下列那些是無理數？
16 練17. 已知實數 ,a b滿足下列條件, 試求 ,a b 值.
(A) 120 (B) 361 (C) 1000 (D) (E) ( 3 2)( 3 2)  (F) ( 1)(   1)
2
2
2
0
0
81 (1) |3a b  1| (2a b   9)  (2) (a  2b 8)  (2a b  1) 
練14. 判斷下列那些數可以透過尺規作圖在數線上標出其位置？
17 1 2 1 3 1
(A)  (B) 2016 (C) 2  5 (D) 2.3456 (E) 2  2  2  2 (F)  (圓周率 練18. 已知 x   5 , 試求 x  2 與 x  3 的值.
)
13 x x x
k k  1 2 1 2 1
練15. 設 k Z , 且  31  , 求 k 值. (102 學測) 練19. 設0 x  1, 並滿足 x   2  x   2 1 , 求解 x .
3 3 x 2 x 2

3