Page 5 - 高一 重修班講義 單元 第一冊 第一章 數與坐標
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周昭景 2017 老師編製
b C
A a
B
1-2 數線上的幾何與不等式 練04. 坐標平面上 ( , 3), (16, ), (19,12)三點共線, 若C 不在 AB 上, 且 AC BC 3:1, 求 a b 值. (102 學測)
:
A B C
幾何空間上的符號表示與數值關係：在幾何圖形上, 我們常用大寫英文字母 , , ,...代表點坐標, 而其對應的數
值則和討論的空間有關, 並以小寫字母表示. 常見表示法如下. 練05. 坐標平面上, 正方形 ABCD 的四個頂點坐標分別為 A(0,1), B(0,0), C(1,0), D(1,1). 設 P 為正方形內部的一點,
( ), ( ), ( ),...分別代表取值為 , , b c 的點, 並以 ( ) x 代表數線上由敘述的條件決定位置的動點.
(1) 數線上, A a B b C c a P 滿足 PDA 與 PBC 的面積比為 1：2, 且 PAB 與 PCD 的面積比為 2：3, 求 P 點坐標. (94 學測)
B x
( ,
x
(2) 平面上, A x y 1 ), ( , y 2 ),...分別代表位置在 ( , x y 1 ), ( , y 2 ),...的點, 以 ( , ) y 代表動點.
P x
1
1
2
2
4 1
a
:
內分點與分點公式：設 ( ), ( )A a B b 為實數線上的兩相異點, 若點 ( )P x 介於兩者之間, 並滿足 AP BP m n , 如圖. 練06. 設 , , b c R且均相異, 滿足b a c , 則下列哪些是正確的？ (103 數乙)
:
5 5
m n 4 1
A P B (A) b 在 , a c 之間 (B) c b (C) 若 d a c , 則 d 在 , a b 之間
x 3 3
a x b
4 1
(D) , a c 距離是 , a b 距離的 5 倍 (E) 若| | b | | a | | c , 則 abc
0
m b m n a B m n A 5 5
則點 P 所代表的數值 x a (b a ) , 亦即 P 稱為分點公式 .
m n m n m n
a b
R
x
y d
【概念】若討論的空間在坐標平面上, 則分點 P 同樣滿足公式, 可將 ,x y 坐標分別利用分點公式計算即可. 實數範圍的結合性質：設 , , , c d , 若兩變數 , x y 滿足 a , b c , 則有以下性質.
B m n A (1) 加法合併, a c x b d (2) 減法合併, a d x b c
y
y
【補充】若點 P 不在 AB 線段上, 則點 P 稱為外分點, 並滿足 P . (內, 外分點可同時存在)
m n 小 小 大 +大 小 大 大 小
【重要經驗】即使不依賴分點公式, 也可利用題目敘述來推論分點位置, 重點在於作圖！ (3) 乘除合併, 討論 ( , )a b 對( , )c d 乘除後的正負性與大小值, 再決定 , x y 的乘除範圍.
例01. 設數線上兩點 , A B 的坐標分別是 4, 6 , 試求滿足下列條件的 C 點坐標. 例03. 設 , a b R , 滿足1 a 5, 2 b 3, 試問下列哪些敘述是正確的？
2
| 3
9
)
(1) C 點在 AB 上, 滿足 AC BC 4:1 (2) C 點不在 AB 上, 滿足 AB AC 5:3 (A) 3 a b 8 (B) 2 ab 15 (C) 1 a b 2 (D) 2 | a b (E) 0 (a b
:
:
練07. 設 , a b R , 滿足(a 2) 16, (b 1 ) 1 , 試問：
2
2
例02. 設坐標平面上兩點 ( 1,1), (3, 2)A B , 若 P 在 AB 上, 滿足 PA PB 3:1, 求點 P 的坐標. 2 4
:
2
2
(1) a 2 4a 5 的最大值與最小值 (2) a b 的最大值和最小值
練08. 設 , ,a b c R , 滿足 abc 0, ab bc ca 0, a b c 0, a b c , 則下列哪些為真？ (91 學測)
a
2
2
(A) a 0 (B) b 0 (C) c 0 (D) | | | | b (E) a c
練09. 設 , a b R , 滿足0 a 1, 0 b 1, 試問下列哪些敘述是正確的？ (91 學測補)
(A) 0 a b 2 (B) 0 ab 1 (C) 1 b a 0 (D) 0 a 1 (E) | a b | 1
練01. 設數線上兩點 , A B 的坐標分別是 2,12 , 試求滿足下列條件的 C 點坐標. b
(1) C 點在 AB 上, 滿足 AC BC 3:4 (2) C 點不在 AB 上, 滿足 AB BC 7:3
:
:
練02. 設坐標平面上兩點 (3, 2), ( 7, 6)A B , 若 P 在 AB 上, 滿足 3PA 2PB , 求點 P 的坐標.
2a b 3a b 4a b 5a b
練03. 設 ,a b R , 且 a b , 試比較 , , , 等四個數的大小關係.
3 4 5 6
5
