Page 4 - e-Book Analisis Real

Teorema 1.1

a) ab = a b , a,bℝ. c) a ≤ c ↔ –c ≤ a ≤ c, untuk c ≥ 0.

2
2
b) a = a , a ℝ. d) – a ≤ a ≤ a , aℝ.

Pada bagian ini akan dibuktikan teorema 1.1.a dan bukti teorema yang lain
diserahkan kepada pembaca.

Bukti Teorema 1.1.a

Jika a,bℝ, maka cukup dibuktikan empat kondisi a dan b yaitu:
(i) a = 0 atau b = 0,

(ii) a > 0 dan b > 0, dan

(iii) a > 0 dan b < 0,
(iv) a < 0 dan b < 0.

yang memenuhi ab = a b .

Bukti (i)

Jika a = 0 atau b = 0, maka ab = 0 b =  = 0 = 0 = 0 b = a 0 = a b .
a
0
Bukti (ii)

Jika a > 0 dan b > 0, maka ab > 0 dan berdasarkan definisi 1.1 berlaku a = a

dan b = b. Berdasarkan definisi 1.1, berlaku ab = ab = a b .

Bukti (iii)
Jika a > 0 dan b < 0, maka ab < 0 dan berdasarkan definisi 1.1 berlaku a = a

dan b = -b. Berdasarkan definisi 1.1, berlaku ab = -ab = a(-b) = a b .

Bukti (iv)

Jika a < 0 dan b < 0, maka ab > 0 dan berdasarkan definisi 1.1 berlaku a = -a

dan b = -b. Berdasarkan definisi 1.1, berlaku ab = ab = (-a)(-b) = a b .

Karena untuk sembarang a,bℝ, memenuhi ab = a b untuk kondisi (i),

(ii), (iii) dan (iv), maka ab = a b , a,bℝ. Terbukti.

2