Page 8 - e-Book Analisis Real

Teorema 1.2

Misalkan aℝ. Jika x N (a),  > 0, maka x = a.


Bukti:

Ambil sembarang > 0.

Jika x N (a), maka berdasarkan definisi 1.2, berlaku x  a < .

Berdasarkan definisi 1.1, berlaku  ax  0.

Sehingga 0 ≤ x  a < .

Andaikan x ≠ a.
Karena x ≠ a, maka x – a ≠ 0.

Berdasarkan definisi 1.1, jika x – a ≠ 0, maka x  a ≠ 0.

Terdapat dua kemungkinan yang memenuhi x  a ≠ 0, yaitu x  a < 0 atau

x  a > 0.

(i) Untuk kemungkinan x  a < 0.

Jika x  a < 0, maka berkontradiksi dengan  a  0.
x
(i) Untuk kemungkinan x  a > 0.

Akan ditunjukkan terdapat  > 0 yang tidak memenuhi 0 ≤ x  a < .

1
Karena x  a > 0, maka x  a > 0.
2

1
Pilih = x  a .
2
1 1
Karena x  a < x  a dan  = x  a , maka < x  a yang
2 2

berkontradiksi dengan 0 ≤ x  a < .

Karena untuk x  a < 0 atau x  a > 0 mengakibatkan suatu kontradiksi,

maka pengandaian x ≠ a salah. Disimpulkan, x = a. Terbukti.

6