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I problemas más conocidos en matemáticas, el
ntroducción
Cuando el ser humano adopta una
posición pensante durante su evolución
como especie, una de sus primeras
inquietudes fue la magnificencia del cielo y el
esplendor de sus estrellas. De la fascinación de este
espectáculo y a base de una observación
constante, muy pronto aprende que el movimiento
de los astros le proporciona una excelente forma
de orientarse, pudiendo de esta forma recorrer
grandes distancias y regresar a aquellos lugares
que le parecían más seguros y que le proveían de
mejores recursos; es decir, la posición de las
estrellas en el cielo le proporcionaban un marco
de referencia en el cual moverse. Esto generó en
el ser humano la necesidad de entender el
movimiento de los objetos en la bóveda celeste.
El estudio de los cuerpos celestes se originó en
1687 con la publicación de los Principia de
Newton. En 1799, Laplace introduce el término
Mecanique celeste, el cual fue adoptado para
describir el movimiento de los cuerpos celestes. A
partir de esta época, la Astronomía entro en su
fase moderna, en la que los trabajos se acumulan
tanto en el terreno matemático (mecánica
celeste) como en el físico (astrofísica).
En los cursos estándares de mecánica teórica,
aprendemos sobre el estudio del “Problema de 2-
Cuerpos”, que es abordado con detalle y resuelto
de manera completa. Sin embargo, debido a la no
existencia de una solución general analítica y/o a
la relativa complejidad de las soluciones
particulares existentes, el Problema de los n-
Cuerpos para n igual o mayor que 3 es raramente
abordado desde el punto de vista de la
integración de las ecuaciones de movimiento del
sistema. En casos como éstos, el uso de técnicas
numéricas para la integración de las ecuaciones
de movimiento brinda una valiosa ayuda. Lo
anterior puede consistir en la construcción de
simulaciones gráficas de las soluciones particulares
más conocidas hasta nuestros días o, incluso, en la
elaboración de estrategias relacionadas a la
construcción de soluciones numéricas que brinden
nociones en la búsqueda de nuevas soluciones
analíticas particulares.
En general, el “Problema de 3-Cuerpos” ha sido
estudiado durante mucho tiempo, y es uno de los
Año 10 Núm. 28 enero-abril 2024
cual tiene una historia muy fascinante y que aún
literatura humildemente simple al respecto, por
falta mucho por escribirse. La siguiente es una
ejemplo: (Bengochea et al., 2009), (Chenciner et
al., 2000), (Devaney et al, 1982), (McGhee R, 1974),
(Szbehely, 1967) y ( Valtonen M, H. Karttunen, 2006).
1. Sobre algunas soluciones
El Problema de 3-Cuerpos restringido circular en el
plano. Llamemos a estos cuerpos Sol, planeta y
asteroide. La palabra restringido significa que la
masa del asteroide es tan pequeña que no afecta
estrictamente el movimiento del Sol y el planeta
(llamado primario) se mueve en orbitas circulares;
el asteroide se supone que se mueve en el mismo
plano que los planetas primarios.
Es bien conocido que este problema no tiene
soluciones analíticas, el movimiento es caótico en
el caso general. Sin embargo, versiones restringidas
del problema de tres cuerpos se pueden analizar
como describiremos a continuación.
El estudio de las “configuraciones centrales”
juega un papel importante debido a que permite
obtener las únicas soluciones del “Problema de n-
Cuerpos” que pueden describirse explícitamente.
Este tipo especial de soluciones son
configuraciones tales que la aceleración de cada
una de las partículas es proporcional a su posición
con respecto al centro de masa del sistema y la
constante de proporcionalidad es independiente
de la partícula. Escribiremos lo anterior con la
siguiente definición.
Si ( 1 , …⁡, ) denota la posición de -partículas en
el instante 0 , decimos que tal posición es una
configuración central si existe un escalar real tal
que
̈
⃗⃗ ⁡= ⁡ ⁡ ⃗⃗ para ⁡ = ⁡1, … ,
en el instante 0 .
La ecuación para el vector de fuerzas,
empleando la definición anterior, se transforma en
la siguiente expresión donde es el potencial
gravitatorio:
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Tlahuizcalli ISSN: 2448-7260